図形と方程式

質問

放物線ｙ＝４ｘ＾２－８ｘ＋４と直線ｙ＝ｘ＋ｋが異なる２つの共有点Ｐ、Ｑを持つ。
(１)ｋの値の範囲を求めよ
(２)距離ＰＱが２となるｋの値を求めよ
という問題です。簡単かと思いますが、回答をお願いします。

回答No.6

mmky

(１)ｋの値の範囲を求めよ。
についてはojamanboさんで回答が出ています。
グラフで説明するの場合について参考程度まで
直線ｙ＝ｘ＋ｋ　のｙの切片kをもとめるということですが、
まず、放物線から直線を引きます。それを新しい放物線と考えます。
ｙ1＝4x＾2-8x+4=(2x-2)＾2
ｙ2＝ｘ＋ｋ
y1-y2=4ｘ＾2－9ｘ＋(4-ｋ)
Y=y1-y2
Y=4ｘ＾2－9ｘ＋(4-ｋ)
Y={2x-(9/4)}＾2+(4-ｋ)-(81/16)
={2x-(9/4)}＾2-ｋ-(17/16)
切片Kは、-ｋ-(17/16)＝0　から求められますね。
（引きましたからね。）
このときは、直線ｙ＝ｘ＋ｋと放物線が接しているときですね。
だから
-ｋ-(17/16)＞0
K＞-（17/16）
で直線と放物線が2点で交わるということですね。
ojamanboさんの回答どおりですね。
ｙ=k であれば、wodinさんの回答になりますね。
ということで参考程度まで。

回答No.5

noname#24477

＃２またまた訂正です。
（１）で
８１－4*4*(4-k)＞０
１７＋４ｋ＞０ 　ここが間違い

１７＋１６ｋ＞０　でした。
答えは
ｋ＞-17/16　です。

＃４さんの解答は
（１）で直線が斜めになっていることを考慮していませんね。
したがってまちがいです。

お礼

何度も有難うございます。無事答えを出せました。助かりました！

回答No.4

wodin

数学二の始めの問題ですね
ではお答えします
<解>y=x+k―壱　ｙ＝４ｘ＾２－８ｘ＋４―弐と置く
(１)y=x+kのkというのはy軸での切片ということになります。
y=xは分かると思いますがそのyが上下に動くだけということです。
これを教えてくれた先生はホウキを黒板に叩きつけて
これが移動すると教えてくれましたが・・・・・
とにかくその壱が弐上で異なる二つの共有点を
持つ範囲ですので共有点を一つだけあるときのことを考えます。
４＞０なので弐での最小点が一つの共有点となりますので
弐での最小点を考えます。
y=４(x－１)＾２となるので（１，０）の時が最小点です。
これを壱に代入するとk=－１と分かります。
共有点が二つ持てばいいのですから
ｋ＞－１となります。　　　　　　　　Ａ、ｋ＞－１

(２)数学Ｂの解と係数の関係を利用した方法をお教えします。
距離が２となる二点をＰ(α、α＋Ｋ)Ｑ(β、β＋Ｋ)と置きます。
αはβ二次方程式x+k＝４ｘ＾２－８ｘ＋４の解ですから
ここで４ｘ＾２－９ｘ＋４－Ｋ＝０と変形して
解と係数の関係を用いて
α＋β＝－(－９/４）＝９/４―参
αβ＝(４－Ｋ)/４―四
二点の距離を出す為に
ＰＱ＝√(β－α)＾２＋{(β＋Ｋ)－(α＋Ｋ)}＾２
　　＝√２(β－α)＾２
　　＝√２{(α＋β)＾２－４αβ}
参四より
ＰＱ＝√２{(９/４)＾２－４(（４＋Ｋ）/４)}
　　＝√１７/８＋２Ｋ
距離が２となって＝の関係になりますが
√が邪魔になってしまいますので
両辺を二乗します。
ＰＱ＾２＝１７/８＋２Ｋ＝４
Ｋ＝１５/１６となります。　　　　　　Ａ，Ｋ＝１５/１６

以上で終わりですがお分かりになられたでしょうか？

お礼

回答有難うございました。（１）は自分で求めてみたのですがｗｏｄｉｎさんと答えが違うので少し心配です。。。もう１回解き直してみます！（２）については納得しました。

回答No.3

noname#24477

＃２ちょっと訂正
＝２(β－α)^2＝２{(α＋β）^2－４αβ｝^2 　最後の２乗いりません。

＝２(β－α)^2＝２{(α＋β）^2－４αβ｝　でした。

回答No.2

noname#24477

（１）は簡単かも
ｙを消去して
４ｘ＾２－８ｘ＋４＝ｘ＋ｋ
４ｘ＾２－９ｘ＋４－ｋ＝０・・・（ア）
判別式（b^2-4ac）を計算すると
８１－4*4*(4-k)＞０
１７＋４ｋ＞０
ｋ＞-17/4・・・・（答）

（２）これはちょっと面倒　　ＰＱ＝２よりＰＱ^2＝４
（１）の方程式（ア）の２つの答をｘ＝α，βとするとｙ＝α＋ｋ，β＋ｋ
ＰＱ^2＝（β－α）^2＋（α＋ｋ－β－ｋ）^2
＝２(β－α)^2＝２{(α＋β）^2－４αβ｝^2
ここで解と係数の関係　α＋β＝9/4，αβ＝（4-k)/4　を代入

後は計算してみてください。

回答No.1

hanasaka

(1)　放物線と直線の接線より上で交差するってこっちゃね。つまりｋの値は接線上の値より上になる値ってことね。グラフ（適当でOK）書いて雰囲気をつかみましょう。

(2)　これは式を一つにして（ｘだけの式にして）距離の公式に入れれば出るはず。

　頑張ってねー