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絶対値付積分
y=∫|2t-x|dt (from 0 to 1) について作図する問題について y=|∫(2t-x)dt| (from 0 to 1) との違いが生じる理由を教えて下さい。 ty平面を想定すると結果が変わってくるのですが、普通に積分してダメな理由がよく分かりません。
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- info22_
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y=∫(t:0→1)|2t-x|dt x≦0の時 0≦t≦1 で 2t-x≧0であるから y=∫(t:0→1)(2t-x)dt=[t^2-xt](t:0→1)=1-x 0≦x≦2の時 0≦x/2≦t≦1の時 2t-x≧0 0≦t<x/2≦1の時 2t-x<0 であるから y=∫(t:0→x/2)(x-2t)dt+∫(t:x/2→1)(2t-x)dt =[xt-t^2](t:0→x/2)+[t^2-xt}(t:x/2→1) =x^2/4 +1-x-x^2/4+x^2/2=1-x+(1/2)x^2 x>2の時 2t-x<0であるから y=∫(t:0→1) (x-2t)dt=[xt-t^2](t:0→1) =x-1 以上xの範囲を分けてyのグラフを描くと添付図のようになります。 y=∫|2t-x|dt (from 0 to 1) これは非負関数|2t-x|(≧0)の積分なのに対し y=|∫(2t-x)dt| (from 0 to 1) の方は 正負の値をとりうる関数(2t-x)の積分は、負の範囲の積分と正の範囲の積分が打ち消しあうので、積分範囲全区間に渡る積分では、非負関数|2t-x|の積分より小さくなります。つまり ∫(2t-x)dt≦∫|2t-x|dt となります。 この絶対値をとっても |∫(2t-x)dt|≦|(∫|2t-x|dt)|=∫|2t-x|dt 大小関係は変わりません。 等号が成立する場合は、 (2t-x)≧0の範囲内に積分範囲が収まっている場合 または (2t-x)f≦0の範囲内に積分範囲が収まっている場合 に限られます。
お礼
分かりやすい説明、ありがとうございます。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
作図してみたんでしょう？ ∫|2t-x|dt (from 0 to 1) は、 y=2t-x と y =0 と t=0 と t=1 で囲まれた部分の面積で、 ∫(2t-x)dt (from 0 to 1) だと、 t 軸で分けて y 軸正方向の面積は ＋、 y 軸負方向の面積は ー と符号をつけて足したものになります。 |∫(2t-x)dt| (from 0 to 1) は、 ∫(2t-x)dt (from 0 to 1) の値の絶対値だから、 正面積と負面積の相殺をした後に、符号を取り去ったものですね。 それぞれを混同せず、 このように、普通に積分すればいいんですよ。
補足
意味を考えればそのとおりなのですが、意味を考えずに純粋に代数的計算をしていく場合、どこで差異が出るのかはっきりしないのではないか、という疑問です。
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なるほど。非常によくわかりました。 ∫|f(x)|dxの知識のせいで混乱してしまったようです(それともそれはそれで異なりますが…)。