解核行列について

質問

http://kenzou.michikusa.jp/Math/renDE.pdfの６ページの[計算例]を３次元に拡張すると、どうなりますか。
特に、ジョルダン標準形の場合が知りたいです。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

直リンク禁止みたいですよ。そのリンクからだと、アクセスできません。
http://kenzou.michikusa.jp/
↑の「数学」の「やさしい連立微分方程式」ですね。

２次元版から容易に想像できるように…

J =
　　a　　0　　0
　　0　　b　　0
　　0　　0　　c
のとき、
e^(tJ) =
　　e^(at)　　0　　　　　0
　　0　　　　　e^(bt)　　0
　　0　　　　　0　　　　　e^(ct)

J =
　　a　　1　　0
　　0　　a　　0
　　0　　0　　b
のとき、
e^(tJ) =
　　e^(at)　　te^(at)　　0
　　0　　　　　e^(at) 　　0
　　0　　　　　0　　 　　　e^(bt)

J =
　　a　　1　　0
　　0　　a　　1
　　0　　0　　a
のとき、
e^(tJ) =
　　e^(at)　　te^(at)　　(t^2/2)e^(at)
　　0　　　　　e^(at) 　　te^(at)
　　0　　　　　0　　 　　　e^(at)

…です。
a,b,c は虚数でもよいので、
回転形の A については省略します。

指数関数に限らず、一般の正則関数 f と
ジョルダン胞 J について、

f(tA) の p 行 q 列成分が
p > q のとき 0,
q - p = k ≧ 0 のとき (t^k/k!) f^(k)(at)
であることは、知っておくと便利かもしれません。

ただし、f^(k)(x) は (d/dt)^k f(t) [t=x]
の意図です。

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

A No.1 に書いた f の場合の公式の導出は、
f のマクローリン展開に J = λE + N　(λ が J の固有値)
を代入して、各項に現れる J の巾乗を二項定理で展開
すれば、解ります。