コーシー・シュワルツの不等式に関するラグランジュの恒等式

質問

コーシー・シュワルツの不等式に関するラグランジュの恒等式というのがあるのですが、どのように証明すればよいのでしょうか。
どうか教えてください。

http://www.geocities.jp/kubojie/pdf/math10.pdf
の１ページ目の一番下参照

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

ミスった。。。。。。。笑い。。。。。いつものことだが。

＞（a＾2＋b＾2）*（x＾2＋y＾2）＝（a＾2*x＾2+b＾2*y＾2-2a＾2*b＾2*xy）+（b＾2*x＾2+2a＾2*b＾2*xy+a＾2*y＾2）＝（ax-by）＾2＋（bx+ay）＾2

　　　　　　　　　　　　↓

（a＾2＋b＾2）*（x＾2＋y＾2）＝（a＾2*x＾2+b＾2*y＾2-2abxy）+（b＾2*x＾2+2abxy+a＾2*y＾2）＝（ax-by）＾2＋（bx+ay）＾2

回答No.4

tinantum

指定のpdfファイルによるとラグランジュの恒等式は，nを自然数，a_i, b_j (1 ≦ i,j ≦ n)を実数（複素数）としたとき，

(Σ_i a_i^2)(Σ_j b_j^2) = (Σ_i a_i b_i)^2 + Σ_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)^2

ですね．
色々と示せると思いますが，直接示すには次のようにすればよいと思います．ポイントは，右辺の第二項：
Σ_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)^2
の式変形にあります．分かりやすいようにそこだけ抜き出して変形してみると，

Σ_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)^2
= (1/2)( Σ_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)^2 + Σ_{j<i} (a_j b_i - a_i b_j)^2)
= (1/2)( Σ_{i≠j} (a_i b_j - a_j b_i)^2 )
= (1/2)(Σ_{i,j} (a_i b_j - a_j b_i)^2 - Σ_{i=j} (a_i b_j - a_j b_i)^2 )
= (1/2)(Σ_{i,j} (a_i b_j - a_j b_i)^2 - Σ_{i} (a_i b_i - a_i b_i)^2 )
= (1/2)Σ_{i,j} (a_i b_j - a_j b_i)^2
= (1/2)Σ_{i,j} (a_i^2 b_j^2 - 2 a_i a_j b_i b_j + a_j^2 b_i^2)
= (1/2)Σ_{i,j} (a_i^2 b_j^2 + a_j^2 b_i^2) - Σ_{i,j} a_i a_j b_i b_j
= Σ_{i,j} (a_i^2 b_j^2) - (Σ_{i} a_ib_i)^2
= (Σ_i a_i^2)( Σ_j b_j^2) - (Σ_{i} a_ib_i)^2
となります．

あとはもうわかるでしょう．

回答No.2

take_5

駄目だ、文字化けする。分らない＝読み取れない。
したがって、質問を勝手に解釈する。。。。違ってたら、ごめん。
ラグランジュの恒等式を使ったコーシー・シュワルツの不等式の証明。

実数a、b、x、yについて、（a＾2＋b＾2）*（x＾2＋y＾2）＝（a＾2*x＾2+b＾2*y＾2-2a＾2*b＾2*xy）+（b＾2*x＾2+2a＾2*b＾2*xy+a＾2*y＾2）＝（ax-by）＾2＋（bx+ay）＾2であるから、（a＾2＋b＾2）*（x＾2＋y＾2）-（bx+ay）＾2＝（ax-by）＾2≧0.
従って、コーシーの不等式：（a＾2＋b＾2）*（x＾2＋y＾2）≧（bx+ay）＾2が成立する。等号はax-by＝0の時。
文字が6つの場合も同じ考え方で出来る。

一般式の証明は先のＵＲＬの通り。

回答No.1

take_5

何故かＵＲＬが開けないので。。。。。。困った
高校生なら次数が限られてくるが、それ以上となると一般的な証明方法は下記の通り。

http://www.nikonet.or.jp/spring/futousiki/futousiki.htm

補足

すみません。
トップ
http://www.geocities.jp/kubojie/
から、enter、数学待合所、コーシー・シュワルツの不等式と入っていただければ、質問文に書いたサイトが見れると思います。