微分方程式 定常解について・・・

質問

http://www.ees.hokudai.ac.jp/Div/nyushi/kigaku/H18_2/togosenmon_2006Feb.pdf
の２ページの問２なのですが・・・
（２）の定常解の求め方と安定性についての計算が
よくわかりません。
定常解とはなんなのでしょうか？
私の持っている石村園子先生の本には載っていなかった
ので・・・

回答No.1

toranekosan222 · ベストアンサー

問２
１）
dx/dt=x^3-3x2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-2)(x-1)
となるので、
dx/[x(x-2)(x-1)]=dt
[1/(2x) +1/(2(x-2))- 1/(x-1)]dx=dt
log(2x)+log(2(x-2))-log(x-1)=t+A
t=log( 4x(x-2)/(x-1))-A

2)
x(x-2)/(x-1)=1/4*exp(t+A)
定常解とはtが変化するときxが変化しないようなxの値。

つまり初期条件としてあたえられたxが微分方程式に代入したときに、微分値が０となってしまうような点である。

この場合はもちろん、x=0,1,2の時が定常解となり
このxは全てのtで微分方程式を満たす。
以上で定常解を導き出した。

今度は局所安定性に関して。
たとえば、初期条件が定常解に近いとして、x=c（cは十分小さい）
としてやると、
f(x)=x(x-2)/(x-1)=exp(t)f(c)
を全てのtにおいて満たすことになる。
よって、
exp(-t)=f(c)(x-1)/x/(x-2)

さて、tが無限大に近づくと、左辺は０となるので、右辺も０に近づくので、x＝１に近づく。

このことから、x=0,x=2の付近では近傍の定常解に近づかないので
不安定だが、
x=1近傍では安定で、定常解x=1に近づく事が出来る。

参考URL：

http://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/system_suuri4_1999/note7/node1.html