微分方程式の解

質問

微分方程式の解

次の問題が分かりません。
どなたか答えていただけるとうれしいです。

(1)式を初期条件φ1(0)=A、φ2(0)=B、|A|^2+|B|^2=1のもとで解け。
ただしa_j(j=1,2,3)を実数、Iを2*2行列として(2)(3)式を用いてよい。

回答No.3

mazimekko3 · ベストアンサー

A = (-γσ1-(ω'/2)σ2)
S = (φ1(t),φ2(t))^T
とでもおくと、解くべき方程式は、
(dS/dt) - iAS = 0
とかける。(ただしSとAは2×2行列)

そうすると、Sの一般解はCを定数行列として
S = C exp(iAt)
になる。
exp(iAt)は(2),(3)式で計算できるから、あとは初期条件を代入してCを決定すればいいんじゃないかな。

お礼

ご解答頂き、誠にありがとうございます。

大変参考になりました。
感謝いたします。

回答No.2

eatern27

(φ1(t),φ2(t))^t = U(t) (φ1(0),φ2(0))^t
のようにおいて、行列U(t)についての微分方程式を考えるのが良さそうですね。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。

ためしにやってみます。

回答No.1

mazimekko3

φ1もφ2も一階の定数係数で線形だから簡単に解けると思うけど、
もしかしてσとかの係数が行列だったりするわけ？

お礼

説明が足りなくてすみません。
σはパウリ行列です。
Iは単位行列です。
残りのアルファベット、ギリシャ文字は係数です。