微分方程式の解の存在

質問

微分方程式の解の存在について質問です．
x_dot = A x
という形の微分方程式で行列Aがxの関数(つまりA(x))で，さらに各xで行列方程式
B'A(x)+A(x)B+Q=0の解である（B，Qは定数行列）という拘束条件？があるときに微分方程式の解の存在と唯一性はどのようにいえばいいのでしょうか？
ただ，A(x)はすべてのxについて固有値が負の行列であることとします．

なにかアドバイスがあったらお願いいたします．

回答No.2

stomachman

xが解であれば任意のtについて、x(t)は B'A(x(t))+A(x(t))B+Q=0 だし、x(t+dt)も B'A(x(t+dt))+A(x(t+dt))B+Q=0 である。また、B'A(x(t+dt))+A(x(t+dt))B+Q=0を満たすx(t+dt)がもし二通り以上あれば解が一意的には決まらない。

最近回答した何と言うこともない質問が質問ごと削除されたんで、回答をあんまりモロダシに書いちゃいけないんだよな、と反省中デシ。

補足

ありがとうございます！
たしかにx(t+dt)も解でないといけないことはわかりました．
でもこのことがいえることが，xdot=Ax の解が存在するし唯一であることと同じなのでしょうか？そのあたりがよくわかりません．

回答No.1

stomachman

xはtの関数でしょう。

任意のxについて、「もしB'A(x)+A(x)B+Q=0 であるならば、B'A(x + x_dot dt)+A(x + x_dot dt)B+Q=0 を満たすx_dotが丁度ひとつ存在する」
および、
或るtについて、「B'A(x)+A(x)B+Q=0 を満たすx(t)が存在する」

を示せば良いですね。

補足

回答ありがとうございます．
一つ目の式がどういう意味なのかよくわかりません．すいませんが教えていただけますか？