数学Cの問題です。教えてください

質問

次の二次曲線の方程式を求めなさい。

（１）焦点が（２．４）、（２．-２）、短軸の長さ８の楕円

（２）焦点が（１．０）、（-５、０）で点（３．４）を通る双曲線

（３）頂点（-１，２）、準線ｘ=２の放物線

どうやって求めればいいのか分かりません。
ぜひ詳しく教えてください！！

回答No.5

info22_

No.3,No.4です。

続いて(3)の回答

頂点が(-1,2)で準線がx=2の放物線の標準形は
　4f(x+1)=(y-2)^2　...(A)
準線x=-f=2より f=-2　...（B）
(B)を(A)に代入すれば
　-8(x+1)=(y-2)^2 ...(C)
標準形なのでこのままでも良いが
整理して陰関数形式にすれば
　8x+y^2-4y+12=0 ...(答え)

回答No.4

info22_

No.3です。

続いて(2)の回答

２つの焦点が直線y=0上にある（つまりx軸上にある）こと、および双曲線の中心は２焦点を結ぶ線分の中点の(-2,0)であることから、双曲線の方程式の標準形は
　(x+2)^2/a^2-y^2/b^2=1 ...(A)
と書ける。
双曲線の焦点距離f=3とa(>0),b(>0)の関係から
　f^2=a^2+b^2=3^2 ...(B)
また点(3,4)をとおることから(A)に代入して
　25/a^2-16/b^2=1 ...(C)
a(>0),b(>0)についての連立方程式を解くと
　a=√5 , b=2 ...(D)
(D)を(A)に代入すれば
　(x+2)^2/5-y^2/4=1 ...(答え)

回答No.3

info22_

まず(1)だけ

（１）焦点が（２．４）、（２．-２）、短軸の長さ８の楕円

楕円の中心は2焦点を結ぶ線分の中点なので(2,1)であるから
楕円の式は　(x-2)^2/a^2+(y-1)^2/b^2=1 (0<a<b)...(A)
とおける。
この楕円の中心を原点に移動すれば、焦点は(0,3),(0,-3)
焦点の式(0,√(b^2-a^2)),(0,-√(b^2-a^2)) と
短軸の長さ2a=8より　a=4
焦点のy座標f=√(b^2-a^2)=3より　b=√(f^2+a^2)=√(3^2+4^2)=5

a,bを楕円の式(A)に代入すれば
　楕円の式：(x-2)^2/16 +(y-1)^2/25=1

回答No.2

yyssaa

取り敢えず（１）について
（１）焦点が（２．４）、（２．-２）、短軸の長さ８の楕円
＞2次元直交座標系で、原点Oが長軸と短軸の交点となる楕円は代数的に
次のように書ける。これを標準形という。
x^2/a^2+y^2/b^2=1
a>b>0のとき、2aは長軸の長さ(長径)、2bは短軸の長さ(短径)となる。
xy平面上にグラフを書くと横長の楕円となる。また、焦点はx軸上にあり、
その座標は(√(a^2-b^2),0)、(-√(a^2-b^2),0) となる。
b>a>0のときは逆に、2bが長軸の長さ(長径)、2aが短軸の長さ(短径)となる。
したがって、xy平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。また、焦点は
y軸上にあり、その座標は(0,√(b^2-a^2))、(0,-√(b^2-a^2))となる。
(以上、http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86より転記)
焦点が(2,4)、(2,-2)ということは両焦点が直線x=2の上にあるので縦長の
楕円になり、長軸と短軸の交点は(2,(4-2)/2)すなわち(2,1)になるので、
この楕円の方程式は、長軸と短軸の交点が原点(0,0)で焦点が(0,3)、(0,-3)
短軸の長さ8の楕円の方程式をx軸の正方向に2、y軸の正方向に1移動させた
式となる。
長軸と短軸の交点が原点(0,0)で焦点が(0,3)、(0-3)短軸の長さ8の楕円の
方程式は、冒頭の引用文の後半に該当するので、焦点の座標から
√(b^2-a^2)=3、2a=8。これを解いてa=4、b=5、方程式はx^2/16+y^2/25=1、
これを移動して、(x-2)^2/16+(y-1)^2/25=1、整理して
25x^2-100x+16y^2-32y-284=0・・・答

回答No.1

noname#199771

(1)楕円上の任意の点をP、Pの座標を(x,y)とすると、
（Pと(2,4)との距離）+（Pと(2,-2)との距離）=c（定数）
となります。これを計算して
(x/a)^2+(y/b)^2=1と変形すると(a>0,b>0)、
焦点のx座標が等しいので2a=8です。
ここからcを逆算します。

(2)双曲線上の任意の点をP、Pの座標を(x,y)とすると、
（Pと(1,0)との距離）-（Pと(-5,0)との距離）=c（定数）
となります。これを計算して
(x/a)^2-(y/b)^2=1(a>0,b>0)
の形に変形します（焦点のy座標が等しいから）。
(3,4)を通ることからa,bを確定します。

(3)条件を満たす方程式はたくさんあって確定しません。
頂点とありますが、焦点の間違いでは？

上記の説明が何を言っているかわからなければ教科書を
読んでください。教科書に詳しい説明が書いてありますから。

具体的な計算は結構面倒ですが自力でやらないと意味な
いです。この後計算結果を含む回答がつくかもしれません
が、他人が書いた計算を読んでも無意味です。