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不定積分の問題
alice_44の回答
- alice_44
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x^4+4 = (x^2+2i)(x^2-2i) = (x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i) から複素係数で部分分数分解してもよいし、 (x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i) = {(x+1+i)(x+1-i)}{(x-1-i)(x-1+i)} = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2) とまとめるなり、 x^4+4 = (x^2+2)^2-4x^2 = (x^2+2+2x)(x^2+2-2x) と分解するなりして、 実係数で部分分数分解してもよい。 実部分分数分解を使えば、 1/(x^4+4) = (1/8){(x+2)/(x^2+2x+2) - (x+2)/(x^2-2x+2)} = (1/16){(2x+4)/(x^2+2x+2) - (2x+4)/(x^2-2x+2)} = (1/16){(2x+2)/(x^2+2x+2) - (2x-2)/(x^2-2x+2)} + (1/8){1/(x^2+2x+2) + 3/(x^2-2x+2)}.
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