- ベストアンサー
不定積分の問題
info22_の回答
x^4+4=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2) なので 1/(x^4+4)=(1/8){(x+2)/(x^2+2x+2)}-(1/8){(x-2)/(x^2-2x+2)} (x^2)/(x^4+4)=(1/4){x/(x^2-2x+2)}-(1/4){x/(x^2+2x+2)} と部分分数分解できます。 [前半の設問] Ia=∫1/(x^4+4)dx =(1/8){∫(x+2)/(x^2+2x+2)dx-∫(x-2)/(x^2-2x+2)dx} =I1-I2 I1=(1/8)∫{(x+2)/(x^2+2x+2)dx x^2+2x+2=(x+1)^2+1,x+1=tで置換積分して (途中略) =(1/16)log(x^2+2x+2)+(1/8)arctan(x+1)+c1 I2=(1/8)∫{(x-2)/(x^2-2x+2)dx x^2-2x+2=(x-1)^2+1,x-1=tで置換積分して (途中略) =(1/16)log(x^2-2x+2)-(1/8)arctan(x-1)+c2 ∴Ia=I1-I2 =(1/16)log{(x^2+2x+2)/(x^2-2x+2)} +(1/8){arctan(x+1)+arctan(x-1)}+C =(1/8)log{(x^2+2x+2)/(x^4+4)}+(1/8){arctan(x+1)+arctan(x-1)}+C (C=c1-c2:積分定数) [後半の設問] Ib=∫x^2/(x^4+4)dx =(1/4){∫x/(x^2-2x+2) dx-∫{x/(x^2+2x+2)}dx} =I3-I4 I3=(1/4)∫x/(x^2-2x+2) dx x^2-2x+2=(x-1)^2+1,x-1=tで置換積分して (途中略) =(1/8)log(x^2-2x+2)+(1/4)arctan(x-1)+c3 I4=(1/4)∫x/(x^2+2x+2) dx x^2+2x+2=(x+1)^2+1,x+1=tで置換積分して (途中略) =(1/8)log(x^2+2x+2)-(1/4)arctan(x+1)+c4 ∴Ib=I3-I4 =(1/8)log{(x^2-2x+2)/(x^2+2x+2)} +(1/4){arctan(x-1)+arctan(x+1)} +C =(1/4)log(x^2-√2x+2)-(1/8)log(x^4+4) +(√6/12){arctan(x-1)+arctan(x+1)} +C (C=c3-c4:積分定数)
関連するQ&A
- 不定積分。
置換積分で次の問題をとくには? 「不定積分:∫1/(√(1+x^2))」 を解け」 という 問題なのですが、x=tanθで置換をして もできるらしいのですが(参考書には計算が面倒だができる) どうしても最後まで落とすことができません。 ちなみに参考書では√(x^2+1)+x=tで置換をやっていて、 計算は,√(x^2+1)+x=tとおくと[{x/√(x^2+1)}+1]dx=dt よって{1/√(x^2+1)}dx=(1/t)dt したがって∫1/(√(x^2+1))dx=∫(1/t)dt=logt+C=log{√(x^2+1)+x}+C という結果になっています。 しかし、x=tanθの置換をしたやりかたでは、 どのように計算をしていくのかが分りません。 どなたか、計算手順または解答を教えてください。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
解けました!ありがとうございます(>_<)