定積分 不等式の証明

質問

お世話になっております。数学3から、全く同じ過去質があったのですが、それを見てもよく分からないままなので、質問させて下さい。

問　不等式
1-(1/n)+(1/n^2)＜Σk=[1→n](1/k^2)＜2-(1/n)
を証明せよ。(但し、nは2以上の自然数)

という基本的な問題です。
教科書にごく基本的な例題があったのでそれを頼りに考えたら、添付画像のような不等式が得られると思います。

その後の和の式Σを立てるのに、kの初項から末項の値をどのようにおくべきか、根拠になる考え方が分からないのですが、ヒントをいただけますか。宜しくお願い致します。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

画像の式ってのは、1/k^2 > ∫[k～k+1](1/x^2)dx > 1/(k+1)^2 ですよね？　　←[1]
図を使うよりも、k < x < k+1 で 1/k^2 > 1/x^2 > 1/(k+1)^2 であることから、
積分して ∫[k～k+1](1/k^2)dx > ∫[k～k+1](1/x^2)dx > ∫[k～k+1](1/(k+1)^2)dx
としたほうがよいように思うけど、ともかく式は合っています。
この式は、k > 0 の実数 k について成り立ちます。

∫[k～k+1](1/x^2)dx = [-1/x]_(x=k～k+1) = 1/k - 1/(k+1) ですから、
[0] は、すなわち 1/k^2 > 1/k - 1/(k+1) > 1/(k+1)^2.　　←[2]
これを k = 1, 2, 3, …, n-1 で Σ すれば、
Σ[k=1～(n-1)](1/k^2) > 1 - 1/n > Σ[k=2～n](1/k^2).
Σ が k=1～n になるように調整すると
Σ[k=1～n](1/k^2) - 1/n^2 > 1 - 1/n > Σ[k=1～n](1/k^2) - 1/1^2
となって、整理すると
1 - 1/n + 1/n^2 < Σ[k=1～n](1/k^2) < 2 - 1/n です。

積分や [1] を使わなくても、数学 I 的に [2] を示して
その後を続けることもできると思いますが？

お礼

ご回答ありがとうございました。
なるほど、というか、Σ記号の入れ方が凄まじいですね。
「数学I的に～」という点は、教科書にあった解を参考にしたので、回答者様のおっしゃるように、少なくとも 1/k^2＞1/x^2＞1/(k+1)^2 までは数学I的に導けると思いますが、それ以後は中々難しい印象です。

Σがk=1～nとなるように調整する、の辺りがキーでしょうか。どうも問題によっては色々な置き方があるようで……。
もう少し悩んでみようと思います。

補足

画像の式、見辛かったかもしれませんが、御回答で示された通りです。