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連続する素数５個における大小関係
- 連続する素数５個を選びます。その数列の初項と末項の和を出します。そして、それ以外の真ん中３個の項の和を出します。そして、どちらが大きいか、比較します。
- ベルトランの仮説というものがあります。素数ｐと２ｐの間には、ｐ以外の素数が存在するというものです。それを当てはめると、５個の素数は、ｐ、２ｐ、４ｐ、８ｐ、１６ｐとなります。
- 初項と末項の和が真ん中の項の和より大きくなることがあれば、すごいことです。
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質問者が選んだベストアンサー
Nagura の定理を使えば簡単だよ.... もちろんすべての場合で Nagura の定理を使うわけにはいかないので ・ある程度大きい場合は Nagura の定理 ・小さい素数に対しては個別チェック でできる. 元論文にあたると N が 9以上なら N より大きく (4/3)N 未満の素数が存在する ので, 個別チェックの範囲はかなり少ない.
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- Tacosan
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質問文を見ると (E) は大丈夫なんだろうかとちょっと気になりますが, 基本的にはその通り. なお, この命題は 5以上の連続する 3個の素数において, 最大の素数はその他 2個の和を越えない より弱いので, これを示すという方針もあります. その場合, (C) と (D) は (E) に吸収させることができ, 個別チェックの対象は (A), (B) の 2つだけだったりします.
お礼
ありがとうございます。おかげで助かりました。 ９個の連続する素数列で、大きい二つと小さい二つの和と、真ん中の五個の和を比較するというように、 一般化することができそうなので、面白い研究ができそうです。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
任意の整数 N に対して N 以上 2N 以下の素数が存在することは既に証明されている (チェビシェフ) ので「仮説」というのはいかがなものかと. ついでにいうと, ある程度大きくなるともっと強力な結果が使える.
補足
申し訳ございません。チェビシェフの定理とさせていただきます。あるいは、ベルトラン＝チェビシェフの定理と改めさせてください。 参考ＵＲＬは参考になりました。日本語だけで検索していたので、ご指摘がなければ、英語の記事は見つからなかったことでしょう。 nが25以上のとき、nと1.2nの間に素数が存在するというNagura氏の定理でさえ、私の疑問の解決につながりそうです。なぜなら、私が提起したnと1.72nの間に素数が存在するということを満たしているからです。 Tacosanさんは、初項と末項の和が、真ん中の項の和より大きくなることはあると思いますか？ぜひ回答お願いします。私は、ない、という方向へ傾いています。
- asuncion
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2pも素数じゃなかったですね。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2127/6289)
＞それを当てはめると、５個の素数は、 ＞ｐ、２ｐ、２（２ｐ）、２（２（２ｐ））、２（２（２（２ｐ））） ＞つまり、 ＞ｐ、２ｐ、４ｐ、８ｐ、１６ｐ 本当ですか？ 2pはともかく、4p,8p,16pはすべて4という素数でない因数を持ちますよ。
補足
４ｐ、８ｐ、１６ｐ自体が素数である必要はありません。というか、間違いですね。 ４ｐより小さい数、８ｐより小さい数、１６ｐより小さい数が素数であることを考えています。 確かに誤解を招く説明でした。 ご指摘いただきありがとうございます。
補足
（Ａ）２，３，５，７，１１ （Ｂ）３，５，７，１１，１３ （Ｃ）５，７，１１，１３，１７ （Ｄ）７，１１，１３，１７，１９ （Ａ）２＋１１＝１３ ＜ ３＋５＋７＝１５ （Ｂ）３＋１３＝１６ ＜ ５＋７＋１１＝２３ （Ｃ）５＋１７＝２２ ＜ ７＋１１＋１３＝３１ （Ｄ）７＋１９＝２６ ＜ １１＋１３＋１７＝４１ （Ｅ）１１以上は９以上なので、Naguraの定理により解決。 こういう感じでしょうか。