高１・三角比の問題教えてください。

質問

高１の三角比の問題につまづいたので、解説をお願いします。

・一辺の長さが６の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとし、頂点Oから直線CMに引いた垂線をOHとする。∠OMC＝θとするとき、COSθを求めよ。

この問題の答えのところに、
「△OAB、△CABは一辺の長さが６の正三角形だから、OM＝CM＝６sin60゜＝3ルート３」という記述があるのですが

・なぜOM＝CMなのか
・６sin60゜がどこから出てきたのか
が分かりません・・・。
分かりやすく解説して頂けるとありがたいです。

回答No.4

comfortably · ベストアンサー

http://i.imgur.com/YuEKj.png
文で説明するとどうしても難しくなるので、ペイントで図を作りました
これでわかってもらえたら、報告お願いしますｗ

お礼

図を描いてくださって、とても分かりやすかったです。
とてもよく理解できました。ありがとうございます。

回答No.3

okhilite

Mを頂点側として考えるとOM=CMは理解できませんか？左右対称です。
Mは中点なのですから。
△OMBは直角三角形です。
三角形OABは正三角形なので角はそれぞれ６０°です。
それで、角BOMは３０°、角OBMは６０°となり、
そこで、OM=CM=６sin６０が出てきます。

お礼

そうですね。ようやく理解できました。ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

＞・６sin60゜がどこから出てきたのか

△OAMにおいて、
∠OAM = 60°（正四面体を構成するのは正三角形だから）
OA = 6
よって、OM = 6sin60°

お礼

６×sin60°　という計算式は正弦定理の変形から生まれた式でしょうか・・・？
でもすっきりしました。ありがとうございます。

回答No.1

akatsukiking

三角比の使用は絶対でしょうか？
まず正四面体という時点でこの図形は正三角形4つで囲まれてることがわかります。
また△OAMと△CABは同じ正三角形なので△OAM≡△CABとなります。点MはABの中点より、OM＝CM。またOM⊥AB、OM⊥MCとなります。よって三平方の定理が使用できるので、3√3が求められます。中2なのでこれくらいしか…

お礼

なるほど、三角比を使わなくても解けるのですね。参考になりました。ありがとうございました。