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重力場での線素
ereserve67の回答
- ereserve67
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w=ct(cは光速）ですよね． 表記の線素はMinkowski時空，つまり重力場の無い平らな時空を表します．つまり，特殊相対性理論を表すものです． 一般に，重力場があれば，相対論的重力場の理論（一般相対性理論）における線素になり， ds^2=g_{ik}(x)dx_idx_k となります．g_{ik}(x)が定数計量ではなくなり，一般にxの関数になります．これは物理的には重力ポテンシャルとよばれ，それは時空のエネルギー運動量分布や流れで決定されるものです．それを規定しているのが有名なEinstein方程式です． さて質問者様のいう強い重力場は，大きな質量をもつ天体による真の重力場なのか，例えば等加速度運動をしているロケットの中の見かけの重力場なのでしょうか．いずれも表記のような線素になることはありません．球対称な静的な天体のつくる重力場なら，有名なSchwarzschild計量 （★）ds^2=-(1-a/r)c^2dt^2+(1-a/r)^{-1}dr^2+r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2) a=2GM/c^2 となり，等加速度運動による重力場なら （☆）ds^2=-(1+ax)^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 のようになります． つまり，天体などの真の重力場がある時空でも，もともとMinkowski時空であって座標変換によって生じた見かけの重力場がある時空でも，重力場を感じる人にとっての線素は，表記のような線素ではなく，★や☆のような線素になります．
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補足
ご丁寧にありがとうございます。 ちょっと質問の仕方が悪かったかもしれません（汗） 色々調べてみますと、重力場の人でも固有時とか固有長さを「見る」ようなのです。 （★）ds^2=-(1-a/r)c^2dt^2+(1-a/r)^{-1}dr^2+r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2) 固有時を調べるにはdr=0とかにすればいいですので ds^2 = -dτ^2 = -(1-a/r)c^2 dt^2 となります。この固有時τで、重力場の人は時間を感じる？のだと思います。 同じように固有長さも ds^2 = dσ^2 = (1-a/r)^{-1}dr^2+r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2) のようなのです。重力場の人はこの長さを見る？のだと思います。 そうだとすれば、重力場の人って結局 ds^2 = -dw_重力場^2 + dx_重力場^2 + dy_重力場^2 + dz_重力場^2 自分がいる周辺だけですが、このような線素の表記になるのではないかと、 そう思い質問させていただきました。 よろしくお願いいたします。