熊本県公立高校入試問題

質問

本年度入試の数学大問６番の証明問題（2）について質問です。

問い

点Oを中心とした半径6の円がある。
線分ABはこの円の直径である。
点Cは円Oの周上にあり点Dは線分AB上にあってAC＝ADである。
点EはCDの延長と円Oとの交点である。
点Fは線分CD 上にあって、点GはAFの延長と円Oの交点である。また、点Hは線分ABと線分GEとの交点である。
（1）三角形ADF∽三角形EBHを示せ
（2）AB＝12、AC＝8、DF＝3のとき線分BHの長さを求めよ。ただし根号がつく場合はついたまま答えること。

問題文の図では点Dは線分OB上にありました。
（2）について新聞の答えは3√6／4 とありますが私は二つでてきました。
BH ＝xとおくと（1）の相似などを利用して
CF＝（12-3x）／x
ここで角CAB＝α、角ACD＝θとすれば三角形ACDは二等辺三角形よりα=π-2θとなる。
三角形ABCは直角三角形となるのでcos2θ=-2/3
となる。
半角の公式およびθは90度未満であることに注意すると cosθ=√6/6
ここで三角形CAF三角形AFDに余弦定理を使うと、
AF^2=64+CF^2-16CFcosθ
AF ^ 2=64+9-48cosθ

AFを消去してcos θを代入すると
CF ^ 2-8√6/3CF -9+8√6=0
CF ＝ 4√6/3±√(√32-√27)^2/√3
CF =3、(8√6-9)/3
先ほどのCF＝（12-3x）／xにそれぞれ代入すると
x=BH=3√6/4、2

両方答えのような気がしますが、x=2が除外される条件がみあたりません。誤りがあればご指摘お願いいたします。

回答No.3

tmpname

> 何故この円の存在に気付かれたのですか？

一般に、「二辺とその間『でない』角が与えられた時、その三角形をどう作画するか？」と考えてみれば（実験してみたことがあれば）分かります。

今の問題の場合は、「AFの長さ、ACの長さ、角ACFの大きさ」が与えられた時、三角形ACFをどう作画するか、を考えるわけです。
この場合、まず線分ACを書いて、次に点Kを適当に角ACK が与えられた角ACFの大きさになるようにとって半直線CK（K側が無限遠まで伸びる）を引きます。最後にAを中心とする半径ACの円Pを書き、半直線CKとの交点がFとなるわけです。

で、与えられたAC, AFの長さ、及び角ACFの大きさによって、PがCKと2点で交わったり（この場合三角形ACFは一意には定まらない）、PがCKに接したり（この場合は角AFCが直角の直角三角形になります。この場合は一意に定まる）、あるいは全然交わらなかったり（三角形ACFは作画不能）、もしくはCKを逆にC側に伸ばした半直線をCLとするとPがCK, CLとそれぞれ1点ずつ交わったり（この場合も一意に定まる）します。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
最初から考え、色々と作画もしてみました。
また、普通の解法も見えました。

改めて基本の大切さ、自分の甘さに気付き反省しています…
ありがとうございました。

回答No.2

tmpname

> AD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC * AD * cos角CAD = 8^2 * (2/3)
> ですから（別に余弦定理を使わなくてもでます）、AD = (8√6) / 3,

正しくは CD^2 = ..... で、CD=(8√6) / 3です。

回答No.1

tmpname

この問題の場合は三角形ACDに注目すれば
AD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC * AD * cos角CAD = 8^2 * (2/3)
ですから（別に余弦定理を使わなくてもでます）、AD = (8√6) / 3, よってCF = (8√6) / 3 - 3であって、CF = 3にはならないのです。

これでは答えになって無いので、どこがまずかったのかを見てみますと、結局
AF^2 = 64 +CF^2-16CFcosθ
AF^2 = 64 +9 - 48cosθ
というのは、AF^2は下の式で値を出すので、「AFの長さ、ACの長さ、角ACFの大きさか ら三角形ACFの形状が決定出来るか？」という事と同じになります。で、角ACFはAFとACの挟角ではないので、小学校で習う「三角形の合同条件」の何れにも当てはまらないのですが、その場合はこの問題の通り、一意には決定出来ない場合があるのです。実際Aを中心に 半径をAFとする円を書いてみると、CFとは2箇所で交わります。一つがFで、もう一つの交点をJとすれば、CJの値が「もう一つの解の」3になっています。

注：ところで、CJ = DFになりますが、この理由は何でしょう？（AD = ACであることに注目してみてください）。

結局、「三角形の合同条件」以外のことを使うとこのような事が起こり得るので、なんか別の条件を使って不適なものを除外するしかありません。角CFAが鋭角か鈍角かだけで も分かればよいのですが、この問題の場合はすぐには特定出来そうに無いです。この場合は、例えば先ほども書きましたがCDの長さが出ますので、それを使うとCF = 3というのは除外されます。

お礼

回答ありがとうございます。
高校入試なので三角形の相似合同などを
使って解くべきでしょうがずっと考えても
どうにもならず強引に解いた結果さらに悩む原因を
作ってしまいました。

小さい三角形ばかりに目がいってCD の長さが
だせることに
気付きませんでした…。

もう一つ、点Aを中心に半径AFの円とありますが、
FをAC、AB側に近づけないとCD と二点で交わるよう
に描くのは難しいですが、そもそもこの円自体書こうと
も思いませんでした。何故この円の存在に
気付かれたのですか？ご教授お願いします。