周波数に無関係に整合するための条件

質問

特性インピーダンスＺの線路とある回路が整合する条件を求めています。

ある回路とは、「抵抗rとコンデンサCが並列接続」と「抵抗RがコイルLと並列接続」が
直列接続されたものです。

この回路のインピーダンスが、
(rR+jωL(r+R)-ω^2×LCrR)/(R+jω(L+CrR)-ω^2×LCr)
であることは計算できるのですが、これがZと整合するための条件がわかりません。

式変形でωを消せるのでしょうか？

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

>結構煩雑。

ネタ割れしたので、当方も。

s = jω とおく。
インピーダンス は、
　Z = r/(1+sCr) + sRL/(R+sL)
らしいので、各分母子に分母の共役式を掛け、分母を実数化したときの、分母の s の奇数次項は？
　-sCr^2/{1 - (sCr)^2} + sLR^2/{R^2 - (sL)^2}
通分して、分母の s の奇数次係数を零にすると？
　-sCr^2{R^2 - (sL)^2} + sLR^2{1 - (sCr)^2}
　s^3 係数： C(Lr)^2 - L(CRr)^2 = 0 → L - CR^2 = 0 → L/C = R^2
　s^0 係数： -C(rR)^2 + LR^2 = 0 → -Cr^2 + L = 0 → L/C = r^2

(これで Z の虚部はすべての s = jω にて零。
これで、実部も s = jω の項を含まなくなる。
お確かめのほどを)

回答No.5

tadys

周波数をFreqとします。

Freq=0では、Zl=0、Zc=∞なので回路のインピーダンスはｒになり、整合する為にはZ=rです。
Freq=∞では、Zl=∞、Zc=0なので回路のインピーダンスはRになり、整合する為にはZ=Rです。
LとCによる特性インピーダンスをZzとすると、Zz=√（L/C)です。

この回路で、周波数に無関係に整合する為には Z=R=r=Zz=となる事です。
LCRの関係は L=CR^2 です。

確かめてみましょう。

「抵抗rとコンデンサCが並列接続」のインピーダンスZcは
Zc = 1/(1/R+jωC) = R/(1+jωCR)

「抵抗RがコイルLと並列接続」のインピーダンスZlは
Zl = 1/(1/R+1/jωL) =jωLR/(R+jωL)
ここでL=CR^2を代入すると
Zl = jωCR^3/(R+jωCR^2) = jωLR^2/(1+jωCR)

Zc + Zl = R/(1+jωCR) + jωLR^2/(1+jωCR)
= (R + jωLR^2) /(1+jωCR)
= R(1+jωCR)/(1+jωCR)
= R

お礼

ご回答ありがとうございます。

周波数によって場合分けした考え方がとても新鮮でした。
こういう解答を拝見するにつけ、自分の発想の貧困さに落ち込みます。

今更センスを磨く時間もないので、
せめて問題数をこなして試験に臨みたいと思います。

回答No.4

178-tall

蛇足。

>「抵抗rとコンデンサCが並列接続」と「抵抗RがコイルLと並列接続」が 直列接続…

結局、一定の入力抵抗をもつ直列接続タイプの LP - HP (N=1) 分波回路になる、ということでした。

ご興味あれば SPICE にでもかけて、出力 2 ポート (R=r) の周波数特性を眺めてください。
3 dB 交叉の分波特性が見られるはず。

回答No.3

178-tall

>式変形でωを消せるのでしょうか？

s = jω とおく。
インピーダンス は、
　Z = r/(1+sCr) + sRL/(R +sL)
らしいので、各の分母子に分母の共役式を掛け、分母を実数化してから、Z の虚部を零にすれば良さそう。
　-sCr^2/{1-(sCr)^2} + sRL(R-sL)/{R^2 +(sL)^2} = 0

左辺を通分し、分母の s の奇数次係数を零にするには、
　L/c = r^2 = R^2
とする。

その結果は？
　Z = R (= r)
みたいだが、結構煩雑。

お礼

ご回答ありがとうございます。

何度も計算してはみたのですが、うまく行かず悩んでいました。
闇雲に全部をひとかたまりの分数になるまで計算してから
有理化を試みて、ωの4乗を見たあたりで挫けていました。

電気の知識だけでなく計算の知恵も足りないと痛感しました。
受験日まで残り4ヶ月程ですが、頑張って勉強を続けます。

回答No.2

tance

虚数部を消すことはできてもω自体を消すことはできないんじゃないでしょうか。
むりやりやるにはラインに整合したインピーダンスのアッテネータを入れて
反射の影響を減らし、あたかも無反射のように見せることしか思いつきません。

非常に低いインピーダンスに変換してからこのLCR回路をつなぐのも一見整合
しているように見える手です。

どちらも信号が大幅に減衰します。

トランスとか伝送線路トランスを使って、エネルギー的に減衰させずにインピーダンス
だけ下げてLCRにつなぐのが良さそうです。

回答No.1

178-tall

「特性インピーダンスＺ」が実定数 Ro ならば、「式変形でωを消せ」るはず。

その式の分母子に分母の共役式を掛け、分母を実数化してから、分子の虚部を零とすれば良さそう。