代数学の問題

質問

<u>を無限巡回群とすると、<u>/<u^n>は異数ｎの巡回群であることを示せ。

わからないので教えてください
お願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

<u>={u^k|k∈Z=(全整数)}
<u^n>={u^{mn}|m∈Z}
任意の整数kに対して
k=mn+j
0≦j<n
となる整数m,jが存在するから
{u^k}={u^{k+mn}|m∈Z}
とすると
<u>/<u^n>={{u^k}}_{k=0～n-1}
となる
0≦j≦k<n
{u^j}={u^k}とすると
u^k=u^{j+mn}
u^{k-j-mn}=1
<u>は無限巡回群だから
k-j-mn=0
k=j+mn
-n<k-j=mn<n
k-j=mn=0
j=k
だから
<u>/<u^n>は位数nの巡回群

補足

回答ありがとうございます
７行目の{u^k}={u^{k+mn}|m∈Z}は{u^k}={u^{ｊ+mn}|m∈Z}ですか？

最後のj=kだから<u>/<u^n>は位数nの巡回群となるのはなぜですか？

それと{u^k}={u^{k+mn}|m∈Z}とすると<u>/<u^n>={{u^k}}_{k=0～n-1}のあたりがよくわかりません

教えていただけるとたすかります