ベクトル 絶対値

質問

この問題を解く手順と用いる定理や公式を教えてください。
質問者は高２です。

ベクトル
a→,b→が|a→|=5,|b→|=3,|a→-2b→|=√21を満たすとき、
|k(a)→+b→|の最小値を求めよ。
ただし、kは実数とする。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>a→,b→が|a→|=5,|b→|=3,|a→-2b→|=√21を満たすとき、|k(a)→+b→|の最小値を求めよ。　ただし、kは実数とする。

→ は割愛。
ベクトル a 同士の内積 (a・a) が |a|^2 であることを利用する評価方式でも…。

前提の |a - 2b| = √21 から片付けておこう。
　|a-2b|^2 = 21 = (a-2b・a-2b) = |a|^2 - 4*(ab) + 4|b|^2
　 = 25 - 4*(ab) + 36
なので、
　4*(ab) = 61-21 = 40　　　　…(*)

本題へ。
　|k*a+b|^2 = (k*a+b・k*a+b)
　= |a|^2*k^2 + 2*(ab)*k + |b|^2
前提や (*) を入れれば、
　|k*a+b|^2 = 25*k^2 + 20*k + 9　　　…(**)
これの最小値が |k*a+b| の最小値を与えるだろう。

(**) の右辺を微分し、最小値を与える k を求めると、
　50*k + 20 = 0 ⇒ k = -4/5
つまり、
　|k*a+b|^2 = 25*k^2 + 20*k + 9 = 16 - 16 + 9 = 9
　|k*a+b| = 3
が最小値、かな？

やり方は OK だと思うが、結果は「眉唾」。
チェックしてみて。

回答No.2

ereserve67

→は省きます．この問題図形的解釈でも解けます．

a,bを基準点OのそれぞれA,Bの位置ベクトルと考えP(a+kb)とします．点はAB上にない（もしOがAB上にあるとするとb=taとかけて|a|=5,|b|=3よりt=±3/5となり，|a+2b|=|1±6/5||a|=|5±6|≠√(21)となるからです）．すると，OP=a+kbは点Aを通り，方向ベクトルbの直線上の点Pの位置ベクトルと解釈できます．

したがって，OP⊥bとなるときOP=|a+kb|は最小になります．

OP⊥b⇔(a+kb)・b=0,k=-a・b/|b|^2

ここで

|a+2b|^2=21,|a|^2+4a・b+4|b|^2=21．a・b={21-(|a|^2+4|b|^2)}/4={21-(5^2+4・3^2)}/4}=-10

であるから，

k=-(-10)/3^2=10/9

このとき，最小値

|a+kb|=|a+10b/9|=|9a+10b|/9=√(81|a|^2+180a・b+100|b|^2)/9=√{81・25+180・(-10)+100・9}/9
=√{25(81-72+36)}/9=√(25・45)/9=√(5^3・3^2)/9=15√5/9=5√5/3

となります．

回答No.1

gohtraw

↑ａ＝↑ＯＡ、↑ｂ＝↑ＯＢとし、点Ｏを（０，０）、点Ｂを（３，０）とおく。また、点Ｃを（６，０）とすると↑ＯＣ＝２↑ｂとなる。

よって↑ａー２↑ｂ＝↑ＯＡ－↑ＯＣ＝↑ＣＡとなり、その絶対値が√２１となる。

これらより、△ＯＡＣはＯＡ＝５、ＯＣ＝６、ＣＡ＝√２１である三角形となり、三辺の長さが判るので余弦定理よりＯＡとＯＢのなす角の余弦が判る。この角の余弦が判れば正弦も判る。

以上より点Ａの座標が判る。仮にこれが（ｘ、ｙ）だったとすると
ｋ↑ａ＋↑ｂ＝（ｋｘ＋３、ｋｙ）
なので、このベクトルの絶対値の二乗は
（ｋｘ＋３）＾２＋（ｋｙ）＾２
で与えられるので、この値が最小となるｋを求めれば終了。