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証明 ベクトル
任意の正の数a、bに対して、常に √a＋√b≦k√(a＋b) が成り立つような実数kの最小値を求めよ ベクトル(1、1)、(√a、√b)のなす角をθとすると (1^2＋1^2)((√a)^2＋(√b)^2)≧［｜(1、1)｜・｜(√a、√b)｜・cosθ］^2となるらしいのですがこれはなぜですか？ 教えてください
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- yyssaa
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｜(1,1)｜^2*｜(√a,√b)｜^2 ≧［｜(1,1)｜*｜(√a,√b)｜*cosθ］^2 となるのはなぜですか？ ＞右辺は｜(1,1)｜^2*｜(√a,√b)｜^2*cos^2θ です。そして1≧cos^2θだからです。
- yyssaa
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1^2＋1^2=｜(1,1)｜^2・・・ベクトル(1,1)の大きさの二乗 (√a)^2＋(√b)^2=｜(√a,√b)｜^2・・・ベクトル(√a,√b)の 大きさの二乗だから (1^2＋1^2)*((√a)^2＋(√b)^2)=｜(1,1)｜^2*｜(√a,√b)｜^2 ≧［｜(1,1)｜*｜(√a,√b)｜*cosθ］^2 等号はcosθ=±1、すなわちθ=0又はθ=πで、ベクトル(1,1) とベクトル(√a,√b)が同じ向きか逆向きのとき。
補足
｜(1,1)｜^2*｜(√a,√b)｜^2 ≧［｜(1,1)｜*｜(√a,√b)｜*cosθ］^2 となるのはなぜですか？
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｜(1,1)｜^2*｜(√a,√b)｜^2 ≧［｜(1,1)｜*｜(√a,√b)｜*cosθ］^2 ではなく (1^2＋1^2)((√a)^2＋(√b)^2)≧［｜(1、1)｜・｜(√a、√b)｜・cosθ］^2 ⇔｜(1、1)｜｜(√a、√b)｜≧［｜(1、1)｜・｜(√a、√b)｜・cosθ］^2 ではないですか？