ベクトルの問題です

質問

２つのベクトル、ベクトルa=(x,2)、ベクトルb=(x-3,x-6)のなす角が鈍角となるような実数xの値の範囲を求めよ。

という問題で、解説を見たのですが、xの範囲が-3<x<4となるまでは分かります。しかしその後に、
「ただし、cosθ≠-1より、x≠4-√10、よって、-3<x<4-√10,4-√10<x<4」
とありました。cosθ≠-1なのは分かりますが、そこからどうやってx≠4-√10が出たのかが分かりません。そのx≠4-√10の求め方をよかったら教えて下さい。分かりにくくてすいません。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

-1＜cosθ＜0　はいいですね。
cosθ<0から
>xの範囲が-3<x<4　…(●)となるまでは分かります。
はいいですね。

-1＜cosθ=(x+3)(x-4)/[√(x^2+4)*√{(x-3)^2+(x-6)^2}]（<0）
から
両辺を二乗して両辺に(x^2+4)*{(x-3)^2+(x-6)^2}をかけると
(x^2+4)*{(x-3)^2+(x-6)^2}＞{(x+3)(x-4)}^2
移項して
(x^2+4)*{(x-3)^2+(x-6)^2}-{(x+3)(x-4)}^2＞0
左辺を計算すると
(x^2-8x+6)^2＞0
これが常に成り立つには
x^2-8x+6≠0
つまり
x≠4±√10
(●）も同時に満たさないといけないので
x≠4-√10
が出てくるわけです（4+√10は(●)の範囲の外です）。

補足

回答ありがとうございます！
計算してみたのですが、x^4-16x^3+76x^2-96x+36から(x^2-8x+6)^2への因数分解はどのように考えればいいのですか？逆の展開はすることができるのですが…すいません。

回答No.5

info22

#3です。
A#3の補足の質問の解答
>x^4-16x^3+76x^2-96x+36から(x^2-8x+6)^2への因数分解?

f(x)=x^4-16x^3+76x^2-96x+36
f(x)=0は4次方程式であることで最大４つの解を持ちうる可能性があると追うことで
f'(x)=4(x^3-12*x^2+38*x-24)=4(x-4)(x^2-8x+6)
f'(x)=0は3個の実解を持ちますから
f(x)=0は極大値１つと極小値をもつことがわかり
x^2-8x+6=0の解 x=4±√10でf(x)=0になる（y=f(x)はこのxでx軸に接する）ことから
f(x)=(x^2-8x+6)^2と因数分解できることが分かります。

回答No.4

rnakamra

cosθ=a・b/(|a|*|b|)=-1
両辺を2乗して
(a・b)^2/(|a|*|b|)^2=1
(a・b)^2=|a|^2*|b|^2
移項して、
(a・b)^2-|a|^2*|b|^2=0
を解けばよいのですが、この式は3次方程式になりますね。

これ以外の方法としてはcosθ=-1のときb=ka(k<0)となりますのでこれを地要したほうが簡単なようです。

それぞれの成分を取り
x-3=kx,x-6=2kとして、この連立方程式を解けばよい。これなら2次方程式に収まるはずです。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.2

doranaoki

ぼくもtacosanさんのように思います。

回答No.1

Tacosan

cos θ は x で表すことができるので, cos θ = -1 という (x に関する) 方程式を解いたらいいんじゃないかな.

補足

|ベクトルa||ベクトルb|cosθ=ベクトルa・ベクトルbとして、cosθ=-1を代入して計算したんですけど、x=4-√10が出てきそうにありません。私のやり方が違うんだと思うんですが…どうしたらいいか分かりません（汗）