• ベストアンサー

ベクトルの問題です。

ベクトルa=(a1,a2,a3)(ベクトルaは0でない)のx軸、y軸、z軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β、γとおく。各等式を証明してください。 1、cosα=a1/ベクトルa  cosβ=a2/ベクトルa cosγ=a3/ベクトルa 2,cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1 お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.2

ベクトルa=(a1,a2,a3)(ベクトルaは0でない)のx軸、y軸、z軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β、γとおく。各等式を証明してください。 >1、cosα=a1/|ベクトルa|  cosβ=a2/|ベクトルa| cosγ=a3/|ベクトルa| ベクトルa=(a1,a2,a3)から、x軸に垂線をおろすと、交点は(a1,0,0) aとx軸の正の向きとなす角がαだから、 a1>0のとき、a1=|a|cosα、 (a1<0のとき、a1=|a|cos(π-α)=-|a|cosα)より、 cosα=a1/|ベクトルa| ベクトルa=(a1,a2,a3)から、y軸に垂線をおろすと、交点は(0,a2,0) 同様に、a2=|a|cosβより、cosβ=a2/|ベクトルa| ベクトルa=(a1,a2,a3)から、z軸に垂線をおろすと、交点は(0,0,a3) 同様に、a3=|a|cosγより、cosγ=a3/|ベクトルa| >2,cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1 「ベクトル」と書いてませんが、ベクトルということでお願いします。 |a|^2=a1^2+a2^2+a3^2だから、1の結果より cos^2α+cos^2β+cos^2γ =(a1/|a|)^2+(a2/|a|)^2+(a3/|a|)^2 =(a1^2+a2^2+a3^2)/|a|^2 =|a|^2/|a|^2 =1 でどうでしょうか?

tsuryo1119
質問者

お礼

ありがとうございます

その他の回答 (1)

  • ONEONE
  • ベストアンサー率48% (279/575)
回答No.1

それぞれの軸方向の単位ベクトルとの内積を考える。 二問目は一問目を利用すればよい。

関連するQ&A

  • 線形代数

    ベクトルa=(a1,a2,a3)(ベクトルaは0でない)のx軸、y軸、z軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β、γとおく。各等式を証明してください。 1、cosα=a1/ベクトルa  cosβ=a2/ベクトルa cosγ=a3/ベクトルa 2,cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1 お願いします。

  • 空間ベクトルの問題について

    空間ベクトルの問題を考えるときの問題文の表現について質問です。 問題に x軸の正の向きとなす角 と言う表現が出てきます。 平面であれば、XY平面上でX軸から原点Oを中心に反時計回りの方向にねじった角度が x軸の正の向きとなす角 というのは理解できますが、空間ベクトル(空間座標系)の場合、 x軸の正の向きとなす角 というのはどの平面上のことを言うのでしょうか? x軸ではなくy軸やz軸の場合はどうなるのでしょうか? 問題の解答を見ると  x軸の正の向きとなす角 はxy平面上  y軸の正の向きとなす角 はyz平面上  z軸の正の向きとなす角 はzx平面上 で考えるように読めるのですが、このように 軸の正の向きとなす角 という言葉の定義に対する理解は正しいのでしょうか? 教えてください。

  • 数Bのベクトルの問題です。解説お願いします。

    (1)aベクトル=(-3、0、-3√3)とx軸、y軸、z軸の正の向きとのなす角をそれぞれ求めよ。 (2)aベクトル=(-1,0、-1)、bベクトル=(-1,2,2)、cベクトル=aベクトル+tbベクトルについて、cベクトルとaベクトルのなす角とcベクトルとbベクトルのなす角が等しくなるようなtの値を求めよ。 お願いします。

  • ベクトルのなす角

    a→=(1, √2, -1)がx軸、y軸、z軸の正の向きとなす角をそれぞれ求めるという問題で、 「a→のx軸の正の向き(0,√2,-1)、y軸の正の向き(1,0,-1)、z軸の正の向き(1,√2,0)としてそれぞれ内積を計算して角度はそれぞれ60度、45度、30度になる」 この解き方は間違っていますか?

  • 空間ベクトル

    e1ベクトル、e2ベクトル、e3ベクトルをそれぞれx軸、y軸、z軸に関する 基本ベクトルとし、ベクトルaベクトル=(-1、√2、1)と e1ベクトル、e2ベクトル、e3ベクトルのなす角をそれぞれ α、β、γとする。 (1)cosα,cosβ、cosγの値を求めよ。 (2) α、β、γ を求めよ。  この問題が解けません。  解説付でといてくれる方  お願いします。

  • 電気磁気学 ベクトルの簡単な計算

    次の問題をお教えください。 ●ベクトルA=(3,-4,2)が、x,y,z軸となす角をそれぞれ、α,β,γとする時、方向余弦(cosα,cosβ,cosγ)を求めよ。 という問題です。 この問題がまったくわからないです。 単位ベクトルを考えるのですか。 お教えください。

  • ベクトル。

    空間内に点A(1,2,3)がある。 (1)x軸と直交し、z軸の正の向きとの成す角が45°であり、y成分が正である単位ベクトル→tを求めよ。 (2)Oを原点とし、→t=→OTとなるように点Tを定め、直線OT上にOと異なる点Pをとる。 OP⊥APである時、Pの座標を求めよ。 (1)の回答が →t=(0,√2/2,√2/2) (2)が (0,5/2,5/2) となることは分かっているのですが、それぞれの解き方が全く分かりません。 よろしくお願い致します。

  • 極座標変換したベクトルにさらに直行なベクトル

    x,y,z軸に対して極座標変換したベクトルrがあります。 r = (sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)です。 このr軸上にそれぞれ直行なベクトルα,βがあります。その関係は r = β × α です。 このα,βのベクトル成分をベクトルrや単位ベクトルx,y,zなどから求めたいのですが、どのように求めてよいかわかりません。 x = (1,0,0), y= (0,1,0), z = (0,0,1)です。 ご存知の方詳しい方がいらっしゃったら教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 空間におけるベクトル解析でわからない問題があります

    xyz空間の原点Oを中心とし、1辺の長さが2である下図のような立方体ABCD-EFGHにおいて、向きのついた辺ベクトルABを向きのついた辺ベクトルHDに移す回転を表す行列を求めてください。 解答は 0...1...0 0...0...-1 -1...0...0 という問題で (1)なぜ以下の考えでは間違っているのか (2)では解答を導くにはどのように解けばいいのか を途中計算を交えてご説明していただけると助かります。 私が独力で解こうとした際、以下のように考えました。 向きのついた辺ベクトルABである最初の行列は 1...0...0 0...1...0 0...0...1 手順1 xz平面に関する鏡映Mxzによって、ベクトルABをベクトルDCに移す。 手順2 ベクトルDCをy軸を中心として、90°回転させる。するとベクトルHDになる。 Mxzの行列は 1...0...0 0...-1...0 0...0...1 (y座標がマイナスになる。) y軸を中心とする角度θ回転は Ry(θ)(x,y,z)= cosθ...0...sinθ 0...1...0 -sinθ...0...cosθ × x y z なのだから Mxz・My(π/2)= 1...0...0 0...-1...0 0...0...1 × 0...0...1 0...1...0 -1...0...0 = 0...0...1 0...-1...0 -1...0...0.

  • 数Bベクトル、2平面のなす角のコサイン

    2平面{2x+y+2z=1,2x-2y+3z=6}のなす角θのcosを求めよ。 この問題なんですが、自分は以下のように解いてみました… 2x+y+2z=1の法線ベクトルは(2,1,2) 2x-2y+3z=6の法線ベクトルは(2,-2,3) これらのなす角は180-θになるので(多分) cosθ=-cos(180-θ)=-(4-2+6)/{√(4+1+4)√(4+4+9)} =-8/3√17 =-8√17/51 しかし答えが3√17/51となっていて、 どこで間違えているのでしょうか。