不定積分1/(x^2+A)^(1/2) について

質問

これを積分するとき

x+(x^2+A)^1/2=tとおいて解きますが、何故、x+(x^2+A)^1/2という風に置けば解けると思いついたのでしょうか？

思いついた過程をご存知の方がいらっしゃいましたら教えて頂けたら幸いです。

よろしくお願いします。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

実は私も高校生の時「なぜ」こう置くのかと思いました．当時は「そう置くと積分できるから」と理解していました．

この問題は，有理関数の不定積分を初等関数で表す問題の一例として知られています．以下は高木貞治著「解析概論」における概要です．F(x,y)をx,yの有理式のとき

∫F(x,√(ax^2+bx+c))dx

を考えます．質問者様の場合F(x,y)=1/y，a=1,b=0,c=Aの場合で，無理関数の積分です．この積分はy=√(ax^2+bx+c)とおくと

y^2=ax^2+bx+c

となります．これは2次曲線で，その上の点(x_0,y_0)を通る傾きtの直線

（☆）y-y_0=t(x-x_0)

と一点(x,y)≠(x_0,y_0)で交わります．ここで(x,y)はtと一対一なので，x=f(t),y=g(t)（tの有理式）とかけて，

∫F(x,√(ax^2+bx+c))dx=∫F(f(t),g(t))f'(t)dt

となり，これはｔの有理関数の積分になるというわけです．

変換（☆）により，無理関数の積分が有理関数の積分になったのでした．

t=x+√(x^2+A)とおくのは，（☆）においてy=-x+tとしたことになります．y=√(x^2+A)は双曲線ですね．

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

私の他に同じ疑問を持っていた方がいらっしゃったというのがすごく嬉しく思いました。

一つ分からない点があるのですが

∫F(x,√(ax^2+bx+c))dx=∫F(f(t),g(t))f'(t)dt

のところの　f'(t)　部分が理解出来ませんでした。
私自身、現在F(x,y)を理解してないためだと認識しております。

質問の回答に質問で返してしまい、申し訳ありません。

回答No.6

ereserve67

ANo.4です．他の回答者も答えておられますが，念のため．

まず，F(x,y)というのは2変数関数の意味です．このyにｘの関数√(x^2+A)をいれるともちろんxの関数F(x,√(x^2+A))になります．例えばF(x,y)=x/yならばF(x,√(x^2+A))=x/√(x^2+A)となり，

∫F(x,y)dx=∫xdx/√(x^2+A)=(1/2)∫(x^2+A)'dx/√(x^2+A)=(1/2)(1/(-1/2+1))(x^2+A)^{-1/2+1}=√(x^2+A)

と言う具合に積分できました．

次に，x=f(t)（このときy=g(t)）を変数xを変数tに置換する式とみると，dx=f'(t)dtなので，

∫F(x,y)dx=∫F(f(t),g(t))f'(t)dt

となるわけです．

この先の詳しい事情は解析概論を読んでください．複素変数の不定積分の話も出てきて面白いですよ．

お礼

より詳しい追加回答ありがとうございます。

実際どのように積分しているか見ると、改めて納得できました。
改めて数学は面白いと感じることができました。
今週の休みに「解析概論」を買ってよんでみようと思います。

今までの回答含め、改めてお礼申し上げます。ありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

あ, #4 でやっているのは「ただの置換積分」です. x = f(t) により変数を x から t に変えるので,
∫なんとかdx = ∫なんとか (dx/dt)dt = ∫なんとか f'(t)dt
となっているだけです.

お礼

すぐの回答ありがとうございます。

dxをdtに直すときに出てくるf'(t)だったのですね。納得出来ました！

先ほど回答を含め、わかりやすく説明して頂きありがとうございました。

今後、勉強していきたいと思います。

回答No.3

Tacosan

「x(t)」というのは「t の関数としての x」という意味です. もっと極端に, 「x が t の関数」というときに
x = x(t)
と書くこともあります.

「x が t の関数」ということなら
x = f(t)
のように書いてもいいんだけど,
・「f」という名前に意味があるわけじゃない
・どうせ「x と t との関係」という文脈でしか出てこない
わけだから同じ名前を使って
x = x(t)
と書いた方が名前が節約できる.

もちろん x'(t) は「x(t) を t で微分したもの」です.

お礼

初歩的な質問に答えて頂きありがとうございます。
初めてこういう表記方法があるんだと知りました。
今まで回答を含め、わかりやすく説明して頂きありがとうございました。

今後、双曲線関数に関して勉強してみようとおもいます。

改めて、お礼申し上げます。ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

(定義に依存するんだけど) まあ「逆三角関数から来た」と思ってもらって構いません.

もうちょっというと, 1/√(1-x^2) に対して置換積分を実行するとしたら
dx/dt = √(1-x(t)^2)
であるような関数を考えると (dx/√(1-x^2) = dt となるから) 都合がいいわけです. この微分方程式はさらに [x'(t)]^2 + x(t)^2 = 1 と書き換えることができ, これを満たす関数として三角関数が得られます. 1/√(1-x^2) の積分ではこの x(t) の逆関数, つまり逆三角関数が出てきます.

同じことを 1/√(x^2+A) に対して考えるなら,
dx/dt = √(x(t)^2+A)
つまり [x'(t)]^2 - x(t)^2 = A であるような関数を考えることになります. で, そのような関数 x(t) に対して点 (x(t), x'(t)) の軌跡は双曲線であるため, この関数 x(t) を双曲線関数と呼びます. そして, 上と同様に 1/√(x^2-A) の積分として「逆双曲線関数」が現れます.

かえって本題を考えると, 1/√(1-x^2) のときに三角関数を使って x = sin t とおくように, 1/√(1+x^2) では双曲線関数により x = sinh t とおけばいい... んですが, 高校では双曲線関数なんて出てこない (泣)

実際に x = sinh t = (e^t - e^(-t))/2 の逆関数を計算すると t = log(x + √(x^2+1)) です (e^t に関する方程式と思って解くと分かる). ほら, x+(x^2+A)^1/2=t の片鱗が見える (苦笑)

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

おかげで三角関数,双曲線関数が出てくる理由がわかりました！　

一つ、回答の方でわからない部分があったのですが、√(1-x(t)^2)や [x'(t)]^2 + x(t)^2 = 1等のx(t)やx'(t)はどうゆう意味でしょうか？ 初歩的なものでしたらすみません。

質問の回答に関する質問ですみません。

回答No.1

Tacosan

正直なところ, 高校ではこれは「こうおく」以外に言いようがなかったりします. が, 興味があれば「双曲線関数」を調べてみると裏が見えたりします.

ところで, 「1/√(a^2-x^2) なら x = a sin t とおく」というのは知ってます?

お礼

早速の回答ありがとうございます。

双曲線関数ですか。早速調べてみようと思います。

「1/√(a^2-x^2) なら x = a sin t とおく」というのは知ってます？

これに関しては存じています。最初はそこから調べて始めました。
この問題の場合はsinxの逆三角関数から来たのだなと自己解釈しましたが合っていますでしょうか。