極座標の問題です。

質問

r=√（ｘ＾2+ｙ＾2）と
θ＝tan^-1(y/x)の
∂r/∂xと∂r/∂y、
∂θ/∂xと∂θ/∂y を
教えてください。

回答No.4

alice_44

＞ ヤコビ行列とは何ですか？

偏微分係数を成分に並べた行列のことです。

x = r cosθ,
y = r sinθ なので、
x, y を r, θ で偏微分すると
∂x/∂r = cosθ = x/r,
∂x/∂θ = r(-sinθ) = -y,
∂y/∂r = sinθ = y/r,
∂y/∂θ = r cosθ = x
これを順番にならべて、
∂(x,y)/∂(r,θ) のヤコビ行列は
x/r -y
y/r x

∂(r,θ)/∂(x,y) のヤコビ行列は
その逆行列になるので、
x/r y/r
-y/r^2 x/r^2
すなわち
∂r/∂x = x/√(x^2+y^2),
∂r/∂y = y/√(x^2+y^2),
∂θ/∂x = -y/(x^2+y^2),
∂θ/∂y = x/(x^2+y^2).

２×２行列の逆行列は、簡単ですね？

お礼

なるほど。丁寧な説明ありがとうございます。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の∂θ/∂xと∂θ/∂yについて

どこまで計算式を簡単にしておくかですが更に計算して

>∂θ/∂x={∂(y/x)/∂x}/{1+(y/x)^2}=-y/[(x^2){1+(y/x)^2}]
=-y/(x^2+y^2)

>∂θ/∂y={∂(y/x)/∂y}/{1+(y/x)^2}=1/[x{1+(y/x)^2}]
=x/(x^2+y^2)

とも変形できます。

お礼

2回もありがとうございます。

回答No.2

info22_

r=√(x^2+y^2)=(x^2+y^2)^(1/2) より

∂r/∂x=(1/2){(x^2+y^2)^(-1/2)}(2x)=x/√(x^2+y^2)
∂r/∂y=(1/2){(x^2+y^2)^(-1/2)}(2y)=y/√(x^2+y^2)

θ=tan^-1(y/x)より

∂θ/∂x={∂(y/x)/∂x}/{1+(y/x)^2}=-y/[(x^2){1+(y/x)^2}]
∂θ/∂y={∂(y/x)/∂y}/{1+(y/x)^2}=1/[x{1+(y/x)^2}]

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

そっちをそのまま偏微分するよりも、
x, y を r, θ で偏微分して、ヤコビ行列を作り、
逆行列を求めるほうが、楽だろうと思います。

お礼

ヤコビ行列とは何ですか？