定積分と不等式について。

質問

(１)　0≦x≦π/2　のとき、　0≦sinx≦x　であることを示せ。

(２)　(１)の不等式を用いて　0＜∫[0→π/2]sinxdx＜(π^2)/8　であることを示せ。

この２問の解説をお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞(１)　0≦x≦π/2　のとき、　0≦sinx≦x　であることを示せ。
0≦x≦π/2だから、０≦sinｘ
ｆ（ｘ）＝ｘ－sinｘとおくと、ｆ'（ｘ）＝１－cosｘ
0≦x≦π/2だから、０≦cosｘ≦１より、ｆ'（ｘ）≧０
だから、ｆ（ｘ）はこの範囲で単調増加。ｆ（０）＝０より、
ｘ≧０で、ｆ（ｘ）≧ｆ（０）＝０　よって、ｘ≧sinｘ
以上より　０≦sinｘ≦ｘ

＞(２)　(１)の不等式を用いて　0＜∫[0→π/2]sinxdx＜(π^2)/8　であることを示せ。
（１）から、０＜∫[0→π/2]sinxdx＜∫［0→π/2]xdx
∫[0→π/2]xdx＝［(1/2)ｘ^2］［0→π/2］＝π^2/8より、
よって、0＜∫[0→π/2]sinxdx＜(π^2)/8

でどうでしょうか？確認してみて下さい。

回答No.2

info22_

(1)
0≦x≦π/2　のとき、　0≦sinx≦1 ...(A)
f(x)=x-sinx　とおくと
f'(x)=1-cosx≧0, f(0)=0-0=0
より　f(x)は単調増加 かつ f(x)=x-sinx≧0　...(B)
(A),(B)より　0≦x≦π/2 で
0≦sinx≦x ...(C)

(2)
(1)の各辺を0≦x≦π/2の範囲で積分しても(C)の不等号関係は成り立つから
∫[0→π/2] 0dx=0
≦∫[0→π/2] sinx dx
≦∫[0→π/2] xdx=[x^2/2]|(x=π/2)-[x^2/2]|(x=0)=(π^2)/8