定積分と不等式

質問

n=0,1,2,...について
In=(-1)^n/n!∫[0→2]x^ne^x dx とおく。
ただし0!=1とする。
(1)In とIn_1の関係式を求めよ。
(2)0≦x≦2に対してe^x≦e^2であることを利用して、次の不等式を示せ。
　1/n!∫[0→2]x^ne^x dx≦2e^2(2/3)^n-1 (n=1,2,...)
(3)極限　lim[n→∞]Σ[k=0→n](-1)^k2^k/k!を求めよ。

(1)はInを変形してできました。
(2)でe^x≦e^2からx^ne^x≦e^2x^n すなわち ∫[0→2]x^ne^x dx≦∫[0→2]e^2x^n dx
を使おうと思ったのですが、1/n!と(1/3)^n-1が作れずできませんでした。
(3)はΣ[k=0→n](-1)^k2^k/k!＝(-1)^02^0/0!+Σ[k=1→n](-1)^k2^k/k!
＝1+Σ[k=1→n](-1)^k2^k/k!　となり(1)を利用できそうな感じがしたのですが、よくわかりませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.1

33550336 · ベストアンサー

(2) ∫[0→2]x^ne^x dx≦∫[0→2]e^2x^n dxより
　　∫[0→2]x^ne^x dx≦e^2*2^(n+1)/(n+1)!
≦((2*2)/(1*2))*e^2*2^(n-1)/3^(n-1)
＝2*e^2*(2/3)^(n-1)

(3) (1)より数列{In}の階差数列は](-1)^k2^k/k!となり
(2)よりlim(In)=0
よって求める極限はI1と一致する。

お礼

ありがとうございました<(_ _*)>

回答No.2

33550336

すいません。
最後はI1ではなく-I1です。