定積分と不等式

質問

級数が発散するか調べる箇所で、2つの定積分と不等式がわからないので質問します。
例1　1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n・・・=∞であるなぜなら、
1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n>∫(1→n)(1/x)dx=logen・・・(1)であり、lim(n→∞)logen=∞であるから。
自分の考えた(1)の証明は、自然数kに対して、k≦x≦k+1とすると、1/(k+1)<1/x<1/k
∫(k→k+1){1/(k+1)}dx<∫(k→k+1){1/x}dx<∫(k→k+1){1/k}dx、
1/(k+1)<∫(k→k+1){1/x}dx<1/kより、
Σ(k=1→k=n-1)∫(k→k+1){1/x}dx<Σ(k=1→k=n-1)(1/k)、
∫(1→n)(1/x)dx<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/(n-1)と最後の項が1/nになりません。
どなたか1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n>∫(1→n)(1/x)dxを証明してください。

例2 1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2・・・(2)は収束する。なぜなら、いつでも1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2<1+∫(1→n)(1/x^2)dx・・・(3)であり、
∫(1→n)(1/x^2)dx=1-1/n<1だから(2)は２を越えない。自分の考えた(3)の証明ですが、自然数kに対して、k≦x≦k+1とすると、k^2≦x^2≦(ｋ+1)^2、
1/(k+1)^2<1/x^2<1/k^2
∫(k→k+1){1/(k+1)^2}dx<∫(k→k+1){1/x^2}dx<∫(k→k+1){1/k^2}dx、
1/(k+1)^2<∫(k→k+1){1/x^2}dx<1/k^2より、
Σ(k=1→k=n-1){1/(k+1)^2}<Σ(k=1→k=n-1)∫(k→k+1){1/x^2}dx
1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2<∫(1→n)(1/x^2)dxの両辺に1を加えるでよいでしょうか？間違っていたら訂正お願いします。

回答No.1

f272

(1)
どうして
1/(k+1)<∫(k→k+1){1/x}dx<1/kより、
Σ(k=1→k=n-1)∫(k→k+1){1/x}dx<Σ(k=1→k=n-1)(1/k)、
とするのかなあ？
k=1からk=nまで足せばいいのではないですか？そうすると
∫(1→n+1){1/x}dx<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n
log(n+1)<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n
になる。左辺でn→∞とすると∞に発散するので右辺も∞に発散する。
どうしても
log(n)<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n
にしたいのであればlog(n)<log(n+1)を使えばよい。

(2)
> 1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2<∫(1→n)(1/x^2)dxの両辺に1を加えるでよいでしょうか？

それでもいいけど，最初からk=0からk=n-1まで足せば自然に1を足したことになる。

お礼

加える範囲の指定の工夫や、log(n)<log(n+1)などのわかりやすい不等式の利用をする、アドバイスありがとうございます。