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定積分と不等式
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０≦ｘ≦１のとき、 １≦１+ｘ^３≦１+ｘ^２ で等号が成立するのは、x=0のときだけですよね。 グラフを思い浮かべてもらえればよいですが、 『0から1まで定積分した結果で等号が成り立つには、 ０≦ｘ≦１の間、ずっと等号がなりたたないといけません。』 ※実は上に書いたのはウソで、正しくは 『0から1まで定積分した結果で等号が成り立つには ０≦ｘ≦１の間、「ほとんど」のｘで等号が成り立たないといけない』ですが、まあイメージは同じでしょう。
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- oyaoya65
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０≦ｘ≦１で ｘ^３≦ｘ^２（等号はx＝0,x＝1の時のみです）ですから 1/{１+ｘ^３}≧1/{１+ｘ^２}（等号はx＝0,x＝1の時のみ） となります。０＜ｘ＜１では 1/{１+ｘ^３}＞1/{１+ｘ^２}≧1ですね。 したがって積分はグラフに描いた時殆どのｘでグラフの上下関係から面積の大小で決まりますので ∫(０～１)1/{１+ｘ^３}ｄｘ＞∫(０～１)1/{１+ｘ^２}ｄｘ と不等号はつきませんね。 大まかなグラフの図を描いていただければ明らかですね。 なお、∫(０～１)1/{１+ｘ^２}ｄｘ＝π/4になります。
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お礼
さっそくありがとうございます！確かにイメージはできました！等号を消すのは暗黙の了解でいいんでしょうかね…？