定積分と不等式

質問

数３の分野の、定積分と不等式という分野で、
（例）０≦ｘ≦１の時、１≦１+ｘ^３≦１+ｘ^２であることを用いて、（π/４）＜∫（０～１)（ｄｘ/（１＋ｘ^３））＜１を証明せよ。
というのがあって条件式の逆数を取るところまでは分かるのですが、教科書では∫（０～１）をその条件式を逆数にした不等式に入れると、等号が外れていました。何で、∫（０～１）を入れると不等式の等号が外れてしまうのでしょか？

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

０≦ｘ≦１のとき、
１≦１+ｘ^３≦１+ｘ^２
で等号が成立するのは、x=0のときだけですよね。

グラフを思い浮かべてもらえればよいですが、
『0から1まで定積分した結果で等号が成り立つには、
０≦ｘ≦１の間、ずっと等号がなりたたないといけません。』

※実は上に書いたのはウソで、正しくは
『0から1まで定積分した結果で等号が成り立つには
０≦ｘ≦１の間、「ほとんど」のｘで等号が成り立たないといけない』ですが、まあイメージは同じでしょう。

お礼

さっそくありがとうございます！確かにイメージはできました！等号を消すのは暗黙の了解でいいんでしょうかね…？

回答No.2

oyaoya65

０≦ｘ≦１で ｘ^３≦ｘ^２（等号はx＝0,x＝1の時のみです）ですから
1/{１+ｘ^３}≧1/{１+ｘ^２}（等号はx＝0,x＝1の時のみ）
となります。０＜ｘ＜１では
1/{１+ｘ^３}＞1/{１+ｘ^２}≧1ですね。

したがって積分はグラフに描いた時殆どのｘでグラフの上下関係から面積の大小で決まりますので
∫(０～１)1/{１+ｘ^３}ｄｘ＞∫(０～１)1/{１+ｘ^２}ｄｘ
と不等号はつきませんね。
大まかなグラフの図を描いていただければ明らかですね。

なお、∫(０～１)1/{１+ｘ^２}ｄｘ＝π/4になります。