√（-1）・√（-1）≠1 を証明してください

質問

複素数の範囲で、i を虚数単位とすると

i^2＝-1

であるので、書き換えると

（√-1）・（√-1）＝-1

という等式になると思います。しかしここで、

（-1）・（-1）＝1

という等式が成り立つのであれば、

与式＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1＝1

ということになってしまい、なんだか矛盾します。

これがなぜなのかを、友達に分かりやすく教えたいのですが、
そもそも私自身なぜなのかが分からないので、皆さんに教えていただければと思います。
できるだけ分かりやすく答えていただけると嬉しいです。
回答よろしくお願いします。

回答No.3

B-juggler · ベストアンサー

こんばんは。これよく間違えるんだ。

元代数学の非常勤ね～。

前にもこれ使って間違っていた人がいたなぁ～。

う～んと、なんていう定理だったか・・・。なんかあるよ。

もう少し簡単に行くと、

ルートの中に勝手に入れてはいけない！　ってこと。

＞（√-1）・（√-1）＝-1

この式は、

＞√｛（-1）・（-1）｝＝√1＝1

こうはならないんです。

簡単に行こう。

与式は　（－１）＾（１／２）　×　（－１）＾（１／２）　

　＃（－１）の　（１／２）乗ね。

＝（－１）＾｛（１／２）＋（１／２）｝＝（－１）＾１

もしくは

＝（－１）＾｛（１／２）×２｝＝（－１）＾１

とやるところ。

累乗の計算は勝手に中入れちゃダメ！ってことです。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ルートの掛け算の時に、ルートの中身同士をかけていいのは、中身が実数の時のみということですね。

回答ありがとうございました。

回答No.7

noname#171582

√（-1）・√（-1）≠1　を証明してください

複素数の範囲で、i を虚数単位とすると

-1=i^2・・・・・（１）
＝（√-1）・（√-1）・・・・・（２）
＝（e[i（π/２）]）・（e[i（π/２）]）・・・・・（３）
＝e[i（π）]
＝－１

＞与式＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1＝1・・・・・（４）
＞ということになってしまい、なんだか矛盾します。
---------------------------------------------
与式＝√｛（-1）・（-1）｝
＝｛（e[i（π）]）・（e[i（π）]）｝＾（１/２）
＝（e[i（２π）]）＾（１/２）
＝e[i（π）]
＝－１

（４）式の
√｛（-1）・（-1）｝の計算において

√の中身だけ勝手に取り出して
（－１）・（－１）＝１とやってはあやまりですね。

（√-1）・（√-1）＝√｛（-1）・（-1）は成り立つ。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.6

noname#171582

√｛（-1）・（-1）｝≠（√-1）・（√-1）
ですね。

複素数なので。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

√｛（-1）・（-1）｝

から

（√-1）・（√-1）

は導けないです。その逆も

複素数を極形式で考えて、平方根は
θ(0<=θ<360度)を半分にすると考えると
わかりやすいですよ。

お礼

極形式で考えてみますね。
回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#175206

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9

で、説明されていますが、√a√b＝√(ab)としてよりのは、少なくともa,b両方が負の場合には成り立たないということです。

　お考えの式では、（√-1）・（√-1）≠√｛（-1）・（-1）｝ということですね。

　もっと一般の場合、たとえば複素数では別の計算になります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

確か、
√a・√b=√(ab)
が成立するのは、a≧0,b≧0の場合だったと記憶しています。
今回のケースはa<0,b<0ですので、
√a・√b≠√(ab)
ということでいいのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

nananotanu

（√-1）は虚数なのに、実数にしか成り立たない公式を使おうとしている

　とか？

お礼

回答ありがとうございました。