√（-1）・√（-1）≠1 を証明してください

質問

複素数の範囲で、i を虚数単位とすると

i^2＝-1

であるので、書き換えると

（√-1）・（√-1）＝-1

という等式になると思います。しかしここで、

（-1）・（-1）＝1

という等式が成り立つのであれば、

与式＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1＝1

ということになってしまい、なんだか矛盾します。

これがなぜなのかを、友達に分かりやすく教えたいのですが、
そもそも私自身なぜなのかが分からないので、皆さんに教えていただければと思います。
できるだけ分かりやすく答えていただけると嬉しいです。
回答よろしくお願いします。

回答No.3

B-juggler · ベストアンサー

こんばんは。これよく間違えるんだ。

元代数学の非常勤ね～。

前にもこれ使って間違っていた人がいたなぁ～。

う～んと、なんていう定理だったか・・・。なんかあるよ。

もう少し簡単に行くと、

ルートの中に勝手に入れてはいけない！　ってこと。

＞（√-1）・（√-1）＝-1

この式は、

＞√｛（-1）・（-1）｝＝√1＝1

こうはならないんです。

簡単に行こう。

与式は　（－１）＾（１／２）　×　（－１）＾（１／２）　

　＃（－１）の　（１／２）乗ね。

＝（－１）＾｛（１／２）＋（１／２）｝＝（－１）＾１

もしくは

＝（－１）＾｛（１／２）×２｝＝（－１）＾１

とやるところ。

累乗の計算は勝手に中入れちゃダメ！ってことです。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ルートの掛け算の時に、ルートの中身同士をかけていいのは、中身が実数の時のみということですね。

回答ありがとうございました。

回答No.17

noname#171582

#16です。

次の問題を解け。
X^2－５X＋６＝０

とあるとき、
（X-2)（X-3)＝０
とやり、
X=3、２
とやるであろう。

このとき注意すべきはX=3か２であって
X=3と２は同時に成り立たない。

ここを間違う慌てものが過去の回答者にも見受けられる。
”Xが2の時、Xは3ではない。”
”Xは２なのだ。”

同じく
”Xが３の時、Xは２ではない。”
”Xは３なのだ。”

つまりは
＃１６においてA系列とB系列は同時に成り立たない
どちらか一方なのだ。

また同じ系列の中でもどれか一つであって
決して同時に2個とか3個とか、複数個とか成り立たない。

ここのところをはっきりさせていないと
本問題で誤りを犯すことになる。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.16

noname#171582

＃１５です。

一般的に
１＝１・１＝１＾２・・・・・・（A-1)
１＝１・１・１＝１＾３・・・・・（A-2)
　・
　・
　・
１＝１・１・１・・・・１＝１＾ｎ・・・・（A-n)
が成り立つ。

また
１＝（－１）・（－１）＝（－１）＾２・・・・・（B-1)
１＝（－１）＾４・・・・・・・（B-2)
　・
　・
　・
１＝（－１）＾（２ｎ）・・・・・・（B-２ｎ）

も成り立つ。

しかし、ここで注意すべきは、A系列かB系列か成り立つのであって、A系列とB系列が同時に成り立つのではない。

また同じ系列でも、その中のひとつが成り立つのであって
全てが成り立つのではない。

具体的には

（Aー１）、（B-1)から
（－１）・（－１）＝１＝１・１
とやってはいけない。

なぜなら、両辺の√を採ると
”－１＝１”となり、質問文の原因がそのまま露呈することになる。

誤りの原因はまさにここにあるのである。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.15

noname#171582

＃１４です。
まだおかしいので、訂正です。

-1=i＾２・・・・・・（１）
＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２）
＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３）
＝1・・・・・（４）

－１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて
チョーダイということらしい。

-1=i＾２・・・・・・（１）
i＾２＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２）
これは良いだろう。i＝（√-1）そのまま。

（√-1）・（√-1）＝√｛（-1）・（-1）｝・・・・（３）
この式は間違いやすい。しかし、ここはただしい。

（√-1）・（√-1）＝exp[πi]＾(1/２）・exp[πi]＾(1/２）
＝｛exp[πi]・exp[πi]｝＾(1/２）
＝｛（－１）・（－１）｝＾(1/２）
＝√｛（-1）・（-1）｝
となり、（３）式は正しい。

√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（４）

（４）式は正しい。
なぜなら
（－１）・（－１）＝１
なので。

√1＝１・・・・・（９）
ここが誤り。

（９）式に於いて、
左辺＝√1＝√（１）＾２＝１＝右辺
とやたはずで、それがいけない。
”１”を勝手に２乗して”（１）＾２”とやってはいけない。

もちろん、一般的には
１＝１・１＝１＾２・・・(　１０　　）
は正しい。

しかしここでは（４）式より

１＝（－１）・（－１）＝（－１）＾２・・・・(　１１　）
であって。√１＝√{（－１）＾２}なのだ。

”１”と言う時、それは
二個の情報を持つ。

（１０）式と（１１）式だ。どちらも正しい。

ところが、（９）式に於いて（４）式より（１１）式の情報なのに、それを消し去り、勝手に（１０）式の情報に置き換えたのが
誤りの原因ですね。

以上

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.14

noname#171582

＃７です。

-1=i＾２・・・・・・（１）
＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２）
＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３）
＝1・・・・・（４）

－１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて
チョーダイということらしい。

-1=i＾２・・・・・・（１）
i＾２＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２）
これは良いだろう。i＝（√-1）そのまま。

（√-1）・（√-1）＝√｛（-1）・（-1）｝・・・・（３）
この式は間違いやすい。しかし、ここはただしい。

（√-1）・（√-1）＝exp[πi]＾(1/２）・exp[πi]＾(1/２）
＝｛exp[πi]・exp[πi]｝＾(1/２）
＝｛（－１）・（－１）｝＾(1/２）
＝√｛（-1）・（-1）｝
となり、（３）式は正しい。

√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（４）
左辺＝√｛（-1）・（-1）｝
＝｛exp[πi]・exp[πi]｝＾(1/２）
＝｛exp[２πi]｝＾(1/２）
＝｛exp[πi]｝
＝－１
となり、右辺の”√1”とならない。
つまり、（４）式が誤り。

中身だけ、勝手に取り出し、
（-1）・（-1）＝１
とやったのが、まずかったね。

以上

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.13

B-juggler

Ｎｏ．３，１０です

「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」

＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２）

ここが違います。
----------------------------------
＞ここが違いますって、どう違うの？
＞正解を言って。

ご自分でもかかれてますね？

「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」

≠「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２）

これはそのまま、ルートの中に入れているでしょう？

ここで　ルートの中身だけ計算してしまうと、

｛ｅ＾（ｉπ）｝＾２　になって

ｅ＾（ｉ２π）＝１　とできます。

そこでルートかけて、　√１　＝　１　とかわけの分からないことをやってしまう。。。

これをやらないように、ルートの中に入れない方がいいと思うんです。

　＃もちろんどのレベルかによるんだけど、この質問者さんが大学生とは思えないので。

　＃少なくとも、複素平面上の動きなんかを考えられるレベルではないでしょうし。

ルートの中に入れる計算でも同じ答えになるんだけど、

　＃ひとつ前にやられています。

　＃σ(・・*)たちには間違いではないけど、

　＃この子達にとっては良くないと思う。

質問者さんが困らないように、変に考えなくていいように、

　＃これは大学レベルで、複素解析でやる話でしょうからね。

√（－１）×√（－１）＝｛「ｅ＾（ｉπ）」＾２｝＾（１／２）　とやらずに、

　＝　｛「ｅ＾（ｉπ）」＾（１／２）｝＾２　とやった方がいいのかな？

と思う。特にここは間違いやすいから。

基本線これで間違いではありませんからね。　

せっかく分かろうとしてある方を混乱させてはいけないでしょう？

難しい話はどうせ先でやるんだから、今の段階でこうですよ！　といえることをしっかり。

これで間違い？

√（－１）　×　√（－１）　＝　｛√（－１）｝＾２　＝（－１）

こうやるのが先でしょう？って話です。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

対象を考えないと、質問者さんが混乱するだけですよ。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.12

noname#171582

-1=i＾２・・・・・・（１）
＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２）
＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３）
＝1・・・・・（４）

－１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて
チョーダイということらしい。

（３）式が誤り。
√｛（-1）・（-1）｝
＝｛（-1）・（-1）｝＾(1/2）
＝｛exp[iπ]・exp[iπ]｝＾(1/2）
＝｛exp[i２π]｝＾(1/2）
＝exp[iπ]＝－１

となり、”√１”にならない。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.11

noname#171582

「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」

＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２）

ここが違います。
----------------------------------
ここが違いますって、どう違うの？
正解を言って。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.10

B-juggler

えっと、質問者さんが困惑する回答はやめませんか？

Ｎｏ．９さん。

Ｎｏ．７とＮｏ．９でご自身の回答が矛盾してますよ。

複素解析の専門かもしれませんが、代数屋に間違い指摘されていては

どうにもならないのでは？

－１＝ｅ＾（ｉπ）　「質問者さんはご存じないかもしれません、無視して結構」

今　√（ー１）　×　√（－１）　を　取り使っているのですから、

与式＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」＾２

　＝　ｅ＾（ｉπ）＝－１　で何も問題ない。

一応上げておくと、

「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」

＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２）

ここが違います。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

ド・モアブルの定理だっけ？？

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.9

noname#171582

みんな寝言みたいなこと言ってるが、そんなことナイデ。
よく、確かめないで、雰囲気で適当にモノ言ってることが分かるな。

（√-1）・（√-1）⇔　√｛（-1）・（-1）｝＝√1

（√-1）・（√-1）
＝（e[i（π）]）＾(1/2）・（e[i（π）]）＾(1/2）
＝｛（e[i（π）]）・（e[i（π）]）｝＾(1/2）
＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.8

noname#171582

-1=i＾２・・・・・・（１）
＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２）
＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３）
＝1・・・・・（４）

－１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて
チョーダイということらしい。

誤りは（３）、（４）に於いて、
√1＝１としたことだ。

√（1＾２）＝１としたはずだ。
”√1”は”√1”であって、√（1＾２）ではない。
すなはち
√1≠√（1＾２）
すなはち
１≠１＾２である。

１＝（e[i（２π）]）であって
１＾２＝（e[i（２π）]）＾２＝e[i（４π）]ではない。
すなはち、
（e[i（２π）]≠e[i（４π）]

１≠１＾２である
複素数に於いてかってに”（１＾２）”とやってはいけない。
”＾２”は複素数に於いては大事な情報だ。
もともとなかった情報を勝手に追加してはいけない。

お礼

回答ありがとうございました。