√虚数は有りですか?

質問

任意の実数a,bにおいて、
[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]^2=a+b i となります(r=√(a^2+b^2), i は虚数単位)。
では、√(a+b i ) = ±[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]となりますか?
それとも複素数の平方根は存在しないのでしょうか?
回答をよろしくお願いします。

回答No.5

akinomyoga · ベストアンサー

(1)複素数の平方根は常に2つ存在する

複素数の平方根は存在します。もっというならば、全ての複素数zに対して平方根が二つずつ存在します(z=0 の時は重根)。
そして、"a+b i の平方根" は ±[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ] で正しいです。

(2) "√(a+b i)" という記号は×

しかし、"√複素数" といった「記号」は基本的には「なし」です。というのも、元々 "√x" は「2つあるxの平方根の内、正の方」と定義されますが、複素数の平方根は一般的に複素数なので、2つあるどちらの平方根が正なのかを整合的に定めることができないからです。従って、(高校数学の範囲では) √複素数 という記号は基本的に使わないのが正しいです。

因みに、 i = √(-1) という形式的な表現をする事がありますが、これも数学的には NG です(何らかの適切な但し書きをつける必要有り)。√ という記号は、-1 の2つある平方根 ±i の内、どちらを選ぶかについて定義していませんので。

(3) 複素解析

複素解析 (大学で教わる) では、これらを整合的に取り扱う為に "Riemann(リーマン)面" という概念を導入します。複素解析では 、"√z" または "z^(1/2)" の記号を (2つの平方根の内の片方とはせずに) 両方を表す物として定義します(流儀によるかもしれないが)。つまり、f(z) = √z の様な式があった場合、この式は常に 2 つの値を持つ物(多価関数)として取り扱い、例えば f(4) = √4 = 4^(1/2) = ±2 などとなります。(つまり、見た目は同じですが高校までの√とは異なる記号です。)

さらに、この複数の値を持つ多価関数 f に対して解析的な議論を行う為にRiemann面が導入されます。z を連続的に動かした時に f(z) の複数ある値がそれぞれ連続的に動いて作る「葉」の様な物を Riemann面と呼ぶのです。そして、"√z" を含む式は、Riemann面を意識しながら複素解析の計算規則に従って注意深く計算を行わなければなりません。詳細について興味があれば、いつか複素解析を学習してみると良いでしょう。

回答No.10

178-tall

ANo9 の錯誤を訂正。

ANo.7 にて、[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]^2 = a+bi　の「左辺」にある i は要らない、としたのが「一案」です。

回答No.9

178-tall

ANo.8 の
>どなたも指摘されてませんが・・・

ANo.7 にて、[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]^2 = a+bi　の右辺にある i は要らない、としたのが「一案」です。

回答No.8

noname#199771

どなたも指摘されてませんが・・・

＞[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]^2

b≠0またはa<0ならば2つ目の√の中身は負です。
√(-1)はiでも-iでもどっちに決めてもいいので±iとして

[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]^2
=[√{ (a+r)/2 } ±(-1)√{ (r-a)/2 } ]^2
={(a+r)/2}+{(r-a)/2}±(-1)*2[√{(a+r)/2}][√{(r-a)/2}]
=r±(-|b|)
（これは実数）

となってa+biになりません。

だからそもそも質問の前提がヘンです。

「では」以下については多価関数とみてもいいし
分枝を一つ固定してもどっちでもいいですけど
自分で都合のいいように定義する性格のものです。

お礼

まず前提で、2番目のルートの中身をr-aにするべきでした。
この場合、「複素数」であるためにb≠0を仮定すれば、ルートの中身は0より大きくなります。
もしb=0ならば通常のaの平方根が求まります。
ご指摘ありがとうございます。

回答No.7

178-tall

そもそも、
　[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]^2 = a+bi
じゃなさそう。

√(-1) を i とする。
r=√(a^2+b^2) ≧0 だろうから、a>0 なら、
　[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } ]^2 = a+bi
となりそう。

a<0 なら、
　[√{ (-a+r)/2 } +√{ (-a-r)/2 } ]^2 = -a+bi
かな？

A=-a とおけば、
　[√{ (A+r)/2 } +√{ (A-r)/2 } ]^2 = A+bi
だろうから、結局
　[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } ]^2 = a+bi
なのか。

回答No.6

akinomyoga

No.5 (1) 訂正:
√{ (a-r)/2 } i ではなく √{ (r-a)/2 } i です。

回答No.4

spring135

{√[(r+a)/2]+i√[(r-a)/2]}^2=a+bi　　（ r=√(a^2+b^2))

はOKです。

従って

√[(r+a)/2]+i√[(r-a)/2]=√(a+bi) (1)

もOKです。

例題

a=3,b=4のとき、r=5

(1)に代入すると

2+i=√3+4i

これは両辺2乗すると確かに成り立ちます。

回答No.3

stomachman

xが0でない実数のとき、x=y^2となるyは丁度2個あります。一方は正、他方は負であり、そのうち正の方をxの平方根と呼んで√x と書く訳です。
　同様に、xが0でない複素数のときにも、x=y^2となるyは丁度2個あります。複素数xは「オイラーの公式」
　　exp(iθ)=cosθ+i sinθ
を使って
　　x = r exp(iθ) (rは正の実数、θは0≦θ＜2πの実数）
と書くことができます。するとx=y^2となる二つのyとは
　　y =±(√r) exp(iθ/2)
です。そこで、複素数xの平方根 √xを定義したいときには
　　√x = (√r) exp(iθ/2)
とする。こうすれば、xが実数（つまりθ=0）の場合の√xの定義の拡張になっていて、具合がいいからです。

回答No.2

chie65535

虚数iの定義って何なのか理解してますか？

「２乗すると-1になる数」が何なのか理解していますか？

式で書いたら

√-1＝？

です。

では「４乗すると-1になる数」が何を意味するか判りますか？

式で書いたら

√（√-1）＝？

です。

√（√-1）＝？

の式の一部を「虚数i」に置き換えて、それを「複素数の平方根」と見比べたら、どうなりますか？

回答No.1

uen_sap

複素数の平方根あり。