1対1以外の対応には複素数が必要になるのですか？

質問

以前うかがった(-1)^(-i)=e^πの場合も右辺の数はひとつでも左辺はひとつではいないときには虚数単位が登場するので、多価関数である三角関数の指数関数表示などとともに1対多という対応には虚数や複素数が関係してくるのかと思いました。

回答No.3

proto · ベストアンサー

複素数などを持ち出すより
周期関数を考えれば
　　f(x)=f(x+d)
となるので逆関数
　　y=f^{-1}(x)
が多価関数になるのは分かりますよね
(ほんとは1:1関数でなければ逆関数は考えませんが)

で、最初に思いつく周期関数は三角関数でしょう
つまり逆三角関数は値域を制限することで1:1関数として定義していますが
　　x=sin(y)
となるようなyはたくさんあるので
その逆関数は多価関数っぽいですよね

次に他の多価関数を思い浮かべると
　　z^a
などがおもい浮かびます、これは
　　z^a=exp(a*log(z))
と変形され
対数関数が無限多価関数なので、同じく多価関数となります
(m,nが互いに素なる整数の時、x^(m/n)はn価関数になります、ｐが無理数のときx^pは無限多価関数ですね)

なので対数関数がなぜ多価関数になるのかを考えてみると
指数関数の逆関数として定義されるからですよね
　　e^(a+bi)=(e^a)(cos(b)+i*sin(b))
となり、虚軸の方向に周期性を持つので
逆関数である対数関数は多価関数なのです

自分も数学は専門では無いですが
多価関数には複素数よりもむしろ三角関数の方が関係が深い？
と思います

お礼

ご教示ありがとうございました。三角関数は初歩を学んでいるところです。オイラーの公式は複素数と三角関数の間にあるような感じなのですが・・・勉強したいと思います。

回答No.2

mikisuke_0226

No.1です。　ちょっとだけ補足です。

まず、あの例は(例自体よくないのですがｗ)、付き合ってるという状態が1対1の対応にならない例の1つとして押さえてください。

それと、1対1の対応が数、特に複素数とはまったく関係ないんだということを押さえていただけたらと思います。

あと、蛇足ですが前から見ていて気になったのですが
(1)まず、数学の用語は基本的に定義されているものですので、一度ご自分で調べて内容を咀嚼した上で質問等に出しましょう。
(2)一度疑問に思ったことは人に聞くのもいいですがまず自分なりに一度調べて考えてそれから聞いたほうがお互いのためになると思います。

熱心に勉強されるのはいいことだとは思いますが、自分で考えて得たものは他人に聞いて得たものでは得られない充実感がありますし、なかなか忘れません。

これからも頑張ってください。
最後に、説教くさくなってごめんなさい。

お礼

理解力が落ちこぼれ級なので一応調べてはいるのですが質問の文面では思いつきをそのまま書いているように思われてしまいます。また私にとってはご教示いただいたものを元に勉強することは充実感が十分あります。

回答No.1

mikisuke_0226

あのぉ・・・ｗ
質問の本文の意味はよく分からないのですが、
1対1の対応ってのは定義を調べれば明らかなとおり複素数云々はまったく関係ないです。
要は1対1の対応ってのは・・・。

例）集合Ａ：男　集合Ｂ：女　対応：付き合ってる
とすると、1対1の対応は「どの男(女)の人もある1人の女(男)と付き合っている(=独り者や同性と付き合ってる人や浮気している人がいない)」という状態を指します。

で、1対多ってのは恐らく1対1じゃない対応のことを指しておっしゃってるのかと思いますが、今の例だと「誰か付き合ってない人がいたり、同性と付き合ったり、浮気している」状態のことになります。

虚数・複素数は出てきましたか？ｗ