数学の問題です!

質問

一辺acmの正方形ABCDの各頂点を中 心として半径acmの弧をかき交点をE,F ,G,Hとする。次に、E,F,G,Hを通る正 方形PQRSを、その辺が正方形ABCD の辺と平行になるよよう図のように かく。 このとき、影のっけた部分の 面積を求めなさい。

答えは、(3-√3-1/3兀)a2cm2 aのあとの２は二乗の意味です。

詳しい説明お願いします。

まだ、中学卒業したばっかりなので中学までの数学知識で解けるように説明お願いします。

回答No.3

noname#215716

図形問題なので、図形を描いて画像添付しました。

もし、見にくければ、すみません。　m(_ _"m)ペコリ

画像では、点Pから辺DC、辺DAに垂直な直線を引き、

その交点を、それぞれT,U,としました。

気になるのは、△DTFが直角三角形で、ＤＦ：ＦＴ＝(2)：(1)　なので、

30度、60度、90度の三角形になること。

それから、ＦＴはＢＣの半分、つまり１／２で、（１／２）a　ｃｍ

になること。

以上の2点ですが、分かりますか？

添付された写真の画像では、□ABCDの中心点に対して、

上下左右に対称なので、

＜求める面積＞の＜１／４＞　である、＜ピンクの部分のPEFの部分の面積＞を求めて、

それを、４倍して、解を求めました。

それを式にすると、

＜　（３／４）a2－（１／１２）πa2－（√３／４）a2　＞　×　４　＝　（　３－√３－π／３）a2　ｃｍ2　です。

分からないことがあれば、言ってくださいね。

勉強、ガンバってください！

回答No.2

yyssaa

円弧AEFCは点Dを中心とした半径aの円の一部ですから
AD=DE=DF=CD=aです。
円弧BEHDは点Cを中心とした半径aの円の一部ですから
CE=aです。
円弧BFGDは点Aを中心とした半径aの円の一部ですから
AF=aです。
以上からAD=AF=DF=a、DE=CD=CE=aとなるので、
△ADFと△CDEは共に1辺の長さがaの正三角形である
ことが分かり、∠ADF=∠CDE=60度になります。
従って∠ADEと∠CDFは共に90度ー60度=30度になるので、
∠EDFも30度になります。
　次に扇形EDFの面積S1を求めます。半径aの円の面積
はπa^2ですから、S1=(πa^2)*30度/360度=(πa^2)/12
になります。
　次に△EDFの面積S2を求めます。△EDFは∠EDF=30度
でDE=DF=aの二等辺三角形ですから、点Eから辺DFに
下ろした垂線の長さはa/2になります。従ってS2は
DF×垂線の長さ÷2から、S2=a*(a/2)*(1/2)=(1/4)a^2
になります。
　次に△PEFの面積S3を求めます。
まずPFの長さですが、これは点Fが辺ABと辺CDの中間に
位置しているので(何故なら△ADFは正三角形)、点Fと
辺ABとの距離はa/2になり、点Pと辺ABとの距離は、BC
=aから△CDEの高さa(√3)/2を引いた値a(2-√3)/2に
なるので、(a/2)-a(2-√3)/2=a(-1+√3)/2がPFの長さ
になります。PE=PFは明らかですから△PEFの面積S3は、
S3=(1/2)*{a(-1+√3)/2}^2=a^2(4-2√3)/8
=a^2(2-√3)/4となります。
以上から求める面積SはS3からS1とS2の差をひいた面積
の4倍となり、
S=4*{S3-(S1-S2)}=4*{a^(2-√3)/4-(πa^2)/12+(1/4)a^2}
=a^2(2-√3-π/3+1)=(3-√3-π/3)a^2 (cm^2)となります。

回答No.1

ferien

正方形ＰＱＲＳの１辺
＝正三角形ＥＤＣの高さ－（ａ－正三角形ＥＤＣの高さ）
＝（√３／２）ａ－｛ａ－（√３／２）ａ｝
＝（√３－１）ａ
正方形ＰＱＲＳ＝（√３－１）^2ａ^2＝（４－２√３）ａ^2

図形ＡＢＤ
＝正方形ＡＢＣＤ－（１／４）の円
＝ａ×ａ－（１／４）×ａ×ａ×π
＝（１－π／４）ａ^2　（これと同じ図形は４つ、ＤＡＣ，ＣＤＢ，ＢＣＡ）
図形ＡＥＢ
＝正方形ＡＢＣＤ－中心角３０度の扇形×２－正三角形ＥＤＣ
＝ａ×ａ－ａ×ａ×π×(30/360)×２－(1/2)×ａ×（√３／２）ａ
＝（１－π／６－√３／４）ａ^2（これと同じ図形は４つ、ＤＨＡ，ＣＧＤ，ＢＦＣ）
図形ＥＦＧＨ
＝正方形ＡＢＣＤ－図形ＡＢＤ×４＋図形ＡＥＢ×４
＝ａ×ａ－（１－π／４）ａ^2×４＋（１－π／６－√３／４）ａ^2×４
＝（１＋π／３－√３）ａ^2
図形ＡＢＤを引くときに図形ＡＥＢを２重に引いているので、後から足しています。

影の部分の面積
＝正方形ＰＱＲＳ－図形ＥＦＧＨ
＝（４－２√３）ａ^2－（１＋π／３－√３）ａ^2
＝（３－π／３－√３）ａ^2

＞まだ、中学卒業したばっかりなので中学までの数学知識で解けるように説明お願いします。
分からなかったら質問して下さい。