【至急】中３です。数学教えてください！

質問

下の図で、四角形ABCDは正方形でM、Nはそれぞれ辺DC、BCの交点である。
また、EはACとBMの交点、FはANとBMとの交点である。

１ △ECMの面積が3平方センチのとき
正方形ABCDの面積を求めよ。

２ AF：FNの比を求めよ。

２問とも解説お願いします。

ちなみに答えは
１が３６
２が４：１です。

できるだけ詳しく解説していただけると助かります。
至急お願いします＞＜

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

1.
△ECMと△EABは相似であり，その相似比は1:2である．

なんで相似かというとCM//ABであり，
∠ECM = ∠EAB (錯角)
∠CME = ∠ABE (錯覚)
2角がそれぞれ等しいから
△ECM ∽ △EAB.

相似比は
CM:AB = 1:2

このことから，添付図のような状況であるとわかる．
ただし，丸で囲んだ数字は比率を表す．

そこで，今度は△ECMと△BCMを考えると，2つの三角形は辺CMを共通の底辺として持つが，その高さの比は1:3であるから，面積比も1:3となる．
△ECM:△BCM = 1:3.

△ECM = 3 cm^2なので△BCM = 9 cm^2.

正方形ABCDの面積は明らかに△ECMの4倍であるから，
正方形ABCD = 4×9 = 36 [cm^2].

2.
△ABNと△BFNは相似である．

なんで相似かっていうと，
∠BNA = ∠FNB,
また，△ABNと△BCMは明らかに合同であるから，
∠NAB = ∠MBC = ∠NBF.
2角がそれぞれ等しいから
△ABN ∽ △BFN.

その相似比はAN:BNに等しいが，問題1より正方形ABCDの面積が36 cm^2であることから，BC = 6 cmであり，その半分であるBNは3 cmである．
一方，三平方の定理を用いると
AN = √(3^2 + 6^2) = 3√5 cm.
すなわち，相似比は
AN:BN = √5 : 1.

したがって，
FN = BN/√5 = 3/√5 = (3√5)/5 [cm],
AF = AN - FN = 3√5 - (3√5)/5 = (12√5)/5 [cm].

∴AF:FN = (12√5)/5 : (3√5)/5 = 4:1.

回答No.4

nattocurry

相似を利用して解く問題ですね。

△BCMが□ABCDの1／4であることは解りますか？
△BCM＝△BCD／2＝（□ABCD／2）／2＝□ABCD／4

AB//CDより、∠EAB＝∠ECM、∠EBA＝∠EMC、∠AEB＝∠CEM、より、△EAB∽△ECM

BE：ME＝AB：CM＝2：1
△CEB：△CME＝BE：EM＝2：1
△ECM＝3なので、△CEB＝6
△BCM＝△CEB＋△CME＝6＋3＝9

□ABCD＝4△BCM＝4×9＝36

△ABF∽△BNF

AB：BN＝2：1より、△ABF：△BNF＝4：1

AF：FN＝△ABF：△BNF＝4：1

回答No.3

sage-night

No.2です。

問1の考え方ですがこれだけなら補助線を引く必要がなく
⊿ABEと⊿CME=2:1とした方が簡単でした。
そこからBE:EM=2:1だから⊿ECMの面積の３倍が⊿BCMになるって所は同じです。
失礼しました。

回答No.2

sage-night

BMとADを延長して新しい三角形を作ってやるのが一番わかり易いと思いますよ。
そうすれば相似がみえてくるんじゃないですかね？
新しい交点をGとすると
問２は一瞬で解けて
⊿AFGと⊿NFBの相似比は4:1なので対応するAF:FNの比は4:1

問１の方が面倒ですが、二種類の相似に注目して
⊿DMG:⊿CMB=3:3　よりBMを3とすると
⊿AEG:⊿CEB=2:4　よりBEは2の長さになる
なのでBE:EM=2:1
辺の比より⊿EMCの面積の３倍が⊿BCMと分かるので、さらにコレの４倍で正方形になる。
3×3×4=36
となります。