中３数学です。

質問

中３数学です。
写真あります。

底面ABCが
AB=5cm BC=10cm CA=5√5cm ∠ABC=90°の直角三角形
側面が２つの長方形と１つの正方形である三角柱ABCDEF

AD=10cm

(1)この立体の表面積は何平方cmか。

(2)辺AC上に点P、辺BC上に点Qを
AC:PC=2:1、AB//PQとなるようにとる。

このとき点Cと面FPQの距離は何cmか。

途中式を含め解説をお願いします。

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回答No.2

ferien

＞底面ABCが
＞ AB=5cm BC=10cm CA=5√5cm ∠ABC=90°の直角三角形
＞ 側面が２つの長方形と１つの正方形である三角柱ABCDEF

＞(1)この立体の表面積は何平方cmか。
25(5＋√5)平方cm

＞(2)辺AC上に点P、辺BC上に点Qを
＞ AC:PC=2:1、AB//PQとなるようにとる。
＞このとき点Cと面FPQの距離は何cmか。

AB//PQより、２組の同位角が等しいから、△ABCと△PQCは相似で、
相似比AC:PC=2:1だから、
PQ＝(1/2)AB＝5/2，QC＝(1/2)BC＝5

三角錐F-PQCの体積は、底面△PQC，高さFC＝5と考えると、
△PQCは、AB//PQより、PQ⊥BCだから直角三角形。
だから、△PQC＝(1/2)・PQ・QC＝(1/2)(5/2)・5＝25/4
体積＝(1/3)・△PQC・FC＝(1/3)・(25/4)・5＝125/12

三角錐F-PQCのCを頂点、△FPQを底面と考えると、
Cから底面へ下した垂線の長さ（点Cと面FPQの距離）が、高さになるから、
それをｈとおく。
△FQCは、∠FCQ＝90°で、等辺5の直角二等辺三角形だから、FQ＝5√2
△FPQについて、
AB//PQ，AB⊥長方形EBCFだから、PQ⊥長方形EBCFで、
FQは長方形EBCF内の線分だから、PQ⊥FQ
よって、△FPQは∠PQF＝90°の直角三角形だから、
△FPQ＝(1/2)・FQ・PQ＝(1/2)・5√2・(5/2)＝25√2/4
よって、
体積＝(1/3)・△FPQ・ｈより、
(1/3)・(25√2/4)・ｈ＝125/12　とおけるから、
ｈ＝(125/12)・(12/25√2)
＝5/√2
＝5√2/2

回答No.1

info22_

(1)
表面積=⊿ABC*2+AD*(AB+BC+AC)=(5*10/2)*2 + 5*(5+10+5√5)=5(25+5√5)=25(5+√5) cm2

(2)
Cから辺FPへ下ろした垂線の足をHと置くと点Cから辺FPへ下ろした垂線と、点Cからを面FPQに下ろした垂線は線分CHに一致する。
これはCFとCPとPRを三辺とする立方体を考えると分かる。ただし、線分PQのQの延長上にPR＝2PQを満たす点をRとする。

三角形CHPはCH:PH:CP=1:1:√2の直角二等辺三角形（∠CHP＝90°）であることから
点Cと面FPQの距離
=CH
=CP/√2
= 5/√2 = 5(√2)/2 cm