面積

質問

∠b=∠Rで、辺bcが辺abより長い直角三角形abcがある。辺bc上にab=bdとなるよう点dをとり、点dで辺bcに垂線をひく。この垂線と点bから辺acにひいた垂線の延長の交点をeとし、辺acが辺be、deと交わる点をそれぞれf、gとする。bdが5cm、bcが10cmの時の四角形fbdgの面積を求める問題で、三平方の定理と、相似を使っての答えの出し方は分かりました。両方を使わない答えの出し方、あるいはヒントをよかったら教えてください。

回答No.3

apfel99 · ベストアンサー

けっこう悩みましたが、三平方の定理も
相似も使わずにできました。

平面座標を使いましょう。
点aを原点、辺abがx軸に平行とすると、
座標は、a(0,0)、b(5,0)、c(5,10)、d(5,5)
辺acはa(0,0)とc(5.10)を通るので、y=2x …(1)
辺edはd(5,5)を通り辺bcつまりx=5に垂直なのでy=5 …(2)
辺acと辺edの交点fは、(1)(2)よりf(2.5,5)
辺acと辺ebは垂直で、点b(5,0)を通るので、辺ebはy = -1/2 x + 5/2 …(3)
辺acと辺ebの交点gは、(1)(3)よりg(1,2)
これで、d,f,g,bの座標が求まったので、
四角形dfgb＝台形dfab－三角形abg
＝(2.5 + 5)×5÷2 － 5×2÷2
＝18.75 － 5
＝13.75

回答No.2

eatern27

＞両方を使わない答え
三平方も相似も使わない、という意味なら、多分、無理です。

相似を使わない解き方は思い浮かばない(きっと無理)ので、三平方を使わない解き方を書きます。

△abc=ba*bc/2=25cm^2
△cbaと△cdgは相似で相似比は2:1
よって、dg=ba/2=2.5cm
△cdg=cd*dg/2=6.25cm^2

△cba≡△edbより、ed=cb=10cm
eg=ed-dg=7.5cm
△egfと△bafは相似で相似比はeg:ba=3:2
△egf:△baf=3^2:2^2=9:4,△egf=△cdg+△bafより
△cdg:△baf=5:4

よって、△baf=△edg*(4/5)=5cm^2

四角形fbdg=△abc-△cdg-△baf=13.75cm^2

こんな感じでどうでしょうか？

まぁ、どんな解き方をするにしても、
＞三平方の定理と、相似を使っての答えの出し方は分かりました
の解き方より煩雑になると思いますよ。

回答No.1

qntmphscs

答えは55/4ですね？
三平方と相似を使わないのがルールということですが、
相似を完全に排除するのは無理でしょう。
正確な図を用意して、比べて下さい。

四角形ＢＤＧＦ＝三角形ＢＤＧ＋三角形ＢＦＧ　（１）

条件より点Ｄは辺ＢＣの中点である。
また三角形ＡＢＣについて、中点連結定理の逆より
点Ｇは辺ＡＣの中点だから

三角形ＢＤＧ＝三角形ＣＤＧ＝(1/2)*三角形ＢＣＧ
　　　　　　＝(1/2)*(1/2)*三角形ＡＢＣ
　　　　　　＝(1/4)*三角形ＡＢＣ　（２）

次に三角形ＡＢＣ∽三角形ＡＦＢ∽三角形ＢＦＣなので

ＡＢ：ＢＣ＝ＡＦ：ＢＦ＝ＢＦ：ＦＣ＝１：２

よってＡＦ＝ａとすればＢＦ＝２*ａ、ＦＣ＝４*ａとなる。
したがってＡＣ＝ＡＦ＋ＦＣ＝５*ａ

ところが、点Ｇは辺ＡＣの中点なのでＧＣ＝５*ａ/２
よって

ＦＧ＝ＦＣ－ＧＣ＝４*ａ－５*ａ/２＝３*ａ/２

ＡＦ：ＦＧ＝ａ：３*ａ/２＝２：３　（３）

よって
三角形ＢＦＧ＝(3/5)*三角形ＡＢＧ　（３より3:(2+3)だから）
　　　　　　＝(3/5)*(1/2)*三角形ＡＢＣ
　　　　　　＝(3/10)*三角形ＡＢＣ　（４）

（１）（２）（４）より
四角形ＢＤＧＦ＝{(1/4)+(3/10)}*三角形ＡＢＣ
　　　　　　　＝(11/20)*三角形ＡＢＣ
　　　　　　　＝(11/20)*(5*10/2)＝55/4

途中に現れるａは式（３）を求めるために使ったもので、
比の１と考えて差し支えありません。
（２）や（４）の変形では「底辺の比＝面積の比」を
使っています。