角度を求める問題で

質問

正方形abcdの辺bc上に点eを取り、二点a.eを通る直線と辺dcの延長との交点をfとする。aeとbdの交点をg、線分efの中点をhとする時、角gchの大きさを求める問題です。回答は、hcとhfが同じ長さだということと、三角形bcgと三角形bagの合同だということを利用して解いています。どうしてhcとhfが同じ長さだといえるのかが分かりません。何かの法則を忘れてるだけかもしれないのですが、教えてください。

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

#1です。
「かなり」は言い過ぎたかも。

#1で示した「直角三角形の斜辺の中点から、各頂点への距離は全て等しい」という性質は結構応用が効きますので、覚えておいて損はないです。

ちなみに∠gch = 90°ですね。
一応、説明しておきましょうか。

△bcgと△bagにおいて
bg=bg (共通)
bc=ba (正方形の一辺なので)
∠bcg=∠bag（=45°bg(bd)は対角線より）
より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△bcg≡△bag
よって、∠bcg=∠bag ---(1)

hc=hf（#1より）より、△hcfは二等辺三角形なので
∠hcf=∠hfc ---(2)

一方、ab//df （平行）なので、錯角の関係から
∠bag=∠hfc ---(3)

(1)～(3)より　∠hcf=∠bcg ---(4)

∠gch=∠bcg+∠bch=∠hcf+∠bch=∠bcf=90°

となりますね。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

hinebot

その回答、かなり端折ってるような気がしますね(^^;

まず、△fecは（△fadと相似な）直角三角形です。
（相似であることは特に使いませんが）

点hは直角三角形の斜辺の中点にあたりますが、このとき
必ず、eh=hf=hc となります。

なぜならば、△fecの外接円を考えてください。
すると∠ecf=90°ということから、円周角の性質より
斜辺efが外接円の直径になる訳です。
このことから、hは外接円の中心であり、eh,hf,hc はその外接円の半径なので等しくなります。