絶対値を含む方程式の解の個数

質問

２|ｘ|ー|ｘ－２|＝２ｘ+aを満たすxがちょうど３個あるとき、aの値の範囲を求めよ。
答えー２＜a＜０
解き方を教えてください。
解説が詳しいとありがたいです。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

済みません。間違えました。
ANo.4を以下の通り訂正します。

絶対値の定義から
A≧0の時｜A｜=A
A＜0の時｜A｜=-A

まず絶対値を外す
x≧0かつx-2≧0すなわちx≧2の時
2x-(x-2)=2x+a
2x-x+2-2x=a
2-x=a　→　x=2-a
x≧2だから2-a≧2　→ 0≧a・・・(ア)

x≦0かつx-2≦0すなわちx≦0の時
-2x-(-x+2)=2x+a
-2x+x-2-2x=a
-3x-2=a　→　x=(-a-2)/3
x≦0だから(-a-2)/3≦0　→ -a-2≦0　→ -2≦a・・・(イ)

0＜x＜2の時
2x-(-x+2)=2x+a
2x+x-2-2x=a　→　x=a+2
0＜x＜2だから0＜a+2＜2　→ -2＜a＜0・・・(ウ)　

よって(ア)(イ)(ウ)の共通範囲をとって、答えは-2＜a＜0となります。
　なお、このような問題を解く際は、フリーハンドでいいですから
グラフを描く習慣を身に付けましょう。

回答No.4

yyssaa

絶対値の定義から
A≧0の時｜A｜=A
A＜0の時｜A｜=-A

まず絶対値を外す
x≧0かつx-2≧0すなわちx≧2の時
2x-(x-2)=2x+a
2x-x+2-2x=a
2-x=a
x≧2だからx=2,3,4より4≧x≧2
-4≦-x≦-2
-2≦2-x≦0　→　-2≦a≦0・・・(ア)

x≦0かつx-2≦0すなわちx≦0の時
２|ｘ|ー|ｘ－２|＝２ｘ+a
-2x-(-x+2)=2x+a
-2x+x-2-2x=a
-3x-2=a
x≦0だからx=0,-1,-2
-2≦x≦0
4≧-3x-2≧-2　→　4≧a≧-2・・・(イ)

0＜x＜2の時はxは３整数を取りえないので、解は無い。

よって(ア)と(イ)の共通範囲をとって、-2≦a≦0となるが、
a=0及びa=-2の場合は与式を満たすxが２個になる(２個が重なる)
ので、これらの値を除き、答えは-2＜a＜0となる。

なお、このような問題を解く際は、特に両端の数値(この場合は
０とー２)が条件を満足するかどうかを確認するため、フリー
ハンドでいいですからグラフを描く習慣を身に付けましょう。

回答No.3

mister_moonlight

解の個数を求めるのに　グラフを使うのはBetterなんだが、問題はそのグラフは　できるだけ扱いやすいものにしたい。

２|ｘ|ー|ｘ－２|-２ｘ＝aとすると
(1)ｘ－２≧0の時　2-ｘ＝a、(2)　0≦ｘ≦2　の時　ｘ-2＝a　(3)　0≧ｘの時、-3ｘ-2＝a

これら3つの場合を1つのグラフに描き、ｘ軸に平行な直線：y＝aとの交点の数を求めると良い。
交点の数が　解の個数を与える。

回答No.2

kaztel-D4C

左辺＝f(x)=2|x|-|x-2|、右辺=g(x)=2x+aと置きます。
このとき、f(x)について
(1)x≦0(2)0＜x≦2(3)2＜x
の3つで場合分けをして、f(x)のグラフを描いてみてください。
そのグラフと、g(x)の交点が3つになるには、g(x)が
二点(0,-2),(2,4)を結ぶ線分上を通る必要が出てきます。(※但しその2点自身は通過してはならない)

よって、(0,-2)を通るとき、g(0)=a=-2
　　　　(2,4)を通るとき、g(2)=4+a=4⇔a=0
なので、※の考えを考慮に入れて、-2＜a＜0となります。

グラフを見れば、なんとなくイメージがつきやすいですから、一度試してみてください。

回答No.1

Tacosan

グラフを書く.