文字を含んだsinの二次方程式の解の個数

質問

2(cosx)^2-3asinx+3a^2-6=0 (0<x<π)
において、異なる３つの解を持つとき、aの値とその３つの解を求めよ。

という問題なのですが、解説で「x=π/2は自明な解だから…」とあるのです。確かにaの値も３つの解も出てくるのですが、なぜ自明なのかわかりません。試験でそう書けばいいのかもしれませんが（笑）、ちょっと気になります。
　どなたかわかる方、よろしくお願いします。

回答No.1

Aquoibonist · ベストアンサー

2(cosx)^2-3asinx+3a^2-6=0 (0<x<π)
(cosx)^2+(sinx)^2=1より
2(1-(sinx)^2)-3asinx+3a^2-6=0
2(sinx)^2+3asinx-3a^2+4＝0
ここでsinx＝ｔとか何とかおいて二次方程式
2ｔ^2+3aｔ-3a^2+4＝0
をといて、出てきたｔの値についてｘの値を決めるんですよね?
さて、0<x<πの範囲では、ｘ＝π/2を除いて、ｔの値に対して
２つのｘの値が出ますよね?それは、解が３個だということに合いません。
解が３個になるからにはｘ＝π/2が、解の中に入っているといえるので
はないでしょうか?
それをさして、「ｘ＝π/2は自明な解」といっているのではないでしょうか？
ちなみに上の二次方程式が重解の場合は、ｘの値は高々２個ですから
これまた問題の条件に適合しません。

お礼

ｘ＝π/2以外だと解が４つになるわけですね。説明が難しいですね。直接「これでは解にならないから…」というのはなにか気持ち悪い気がしますね。それは自分で考えるとします。ありがとうございました。

回答No.2

hinebot

#1さんの回答があるので、ちょっとくどいかもしれませんが。

>2ｔ^2+3aｔ-3a^2+4＝0
>（中略）
>さて、0<x<πの範囲では、ｘ＝π/2を除いて、ｔの値に対して
>２つのｘの値が出ますよね?
これはいいですか？ t=sinxのグラフを考えると　直線x=π/2に対して左右対称になるからですね。

2次方程式ですから、解(tの値)の個数は0,1,2のいずれかです。
i)ｔの値の個数が0のとき　ｘの値の個数も0になり不適。
ii)ｔの値の個数が1（重解）のとき、ｘの値の個数は１か２（１となるのは頂点のx=π/2のとき）なので、これも不適。
iii)ｔの値の個数が２のとき
x≠π/2なら、ひとつのｔについて２つのｘができるので、ｘの値の個数は４つとなり、不適。
従って、ｔの値の個数は２で、そのうちの１つは x=π/2(t=1)でなければならない。
ということです。

お礼

単位円で考えるとわかりやすそうですね。説明は自分で考えてみます。ありがとうございました。