絶対値を含む方程式

質問

|x|≦2…1
3x-a<x-1≦2x…2
1、2を同時に満たすxがちょうど三個存在するようなaの値の範囲を求めよ。
分からなかったのでできるだけ詳しく教えて下さい。
3x-a<x-1≦2xをどう変形してよいか分かりません。
お願いします

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

この手の問題の質問があとを絶たない。考えにくいところがあるんだろうが、一番簡単で、視覚的にもミスを防げるのは“座標”を使う事。
但し、座標を習ってなければ駄目という欠点もあるが。。。

|x|≦2　‥‥(1)、3x-a<x-1≦2x　より、a＞2x＋1、x≧-1.　‥‥(2)
ここで、y＝aとすると、(2)は　y＞2x＋1、x≧-1.　‥‥(3)
(1)と(3)をxy平面上に図示すると、-1≦x≦2　の　y＞2x＋1　の部分になる。
この領域にxの整数値がちょうど3個存在すると良い。
そこで、その領域内で、y＝a　(x軸に平行な直線)を上下に動かして、ちょうど3個になるaの値の範囲は？　殆ど、自明だと思うけど　？

回答No.4

ye11ow

「bがどうなればいい？」ということが自分で考えられないのならば、
基本的な事項をおさらいする必要があるといえます。
「bは、こうなる」ということを、私が示し、
それを読んで、一旦分かったような気になってもらっても、
本質である基本事項が身についていなければ、
ちょっと違う問題を出されたとき、それが解けません。
なので、以下のことをぜひおさらいしてもらいたいと思います。
分かってしまえば、とてもやさしいことですよ。

さて、No.3の中ほどで、

x≧-1・・・(4)’　　
-2≦x≦2・・・(1)’

(1)’に(4)’の条件を加え、-1≦x≦2・・・(5)’としました。

このことは、

{x≧-1・・・(4)’『かつ』　-2≦x≦2・・・(1)’｝

の意味だからこうしたのです。

『かつ』は、(1)’と(4)’の条件の「共通部分」、
言い換えれば、［両方の条件を満たすような］xの範囲ということです。

例えば、「-1.5」を考えると、(1)’は満たしますが、(4)’はダメですね？
「1.5」ならば、両方を満たすのでＯＫであることがわかりますね？
（数直線を書いてみることで、絵で確認しやすくなりますよ）

さて、ここで、『かつ』のところが『または』である場合を考えてみます。

{x≧-1・・・(4)’『または』　-2≦x≦2・・・(1)’｝

これを簡単にまとめれば、-2≦x・・・（*）　となります。お分かりでしょうか？

『または』だと、(1)’と(4)’のどちらかを満たしていればいいのです。
「１０」でも「１００」でもＯＫです。(4)’のほうを満たしていますから。
「-2」だと(4)’はダメですが、(1)’を満たしているからＯＫですよね？
結局、両者を重ねた、-2≦x・・・（*）　になることを確認してみてください。
（これも、数直線を書いてみると確認しやすくなります）

このことを踏まえた上で、No.3の最後に挙げました、

{x<b・・・(3)’’かつ　-1≦x≦2・・・(5)’}　において、
b=1だったら？　b=2だったら？　その中間だったら？
を考えてみてください。

b=1 だったら、{x<1　かつ　-1≦x≦2 }　⇒まとめてどうなります？
b=2 だったら、{x<2　かつ　-1≦x≦2 }　⇒まとめてどうなります？

まとめた不等式２つのうちどれが、
x が整数３個、-1, 0, 1 だけになりますか？

また例えば、b=1.0001・・・だったらどうでしょう？←コレ重要です。
（ついでに、b=2.1 だったら？）

ここまで理解できれば、b の範囲を不等式で書き表すことができるはずです。
そして、b⇒（aの式）に戻して、aの不等式に変形すればこの問題は終わりです。
他の類似問題にも、きっとかなり手が出るようになったはずです。

回答No.3

ye11ow

a<b<c　という式は、{a<b　かつ　b<c}と書きかえることができます。
Ａ君＜Ｂ君＜Ｃ君　の順で背が高かったら、
{Ａ君＜Ｂ君　かつ　Ｂ君＜Ｃ君}と分けて考えられるということです。

なので、3x-a<x-1≦2x　のような式が出てきたら、

{3x-a<x-1・・・(3)　かつ　x-1≦2x・・・(4)｝

と書きかえるのが、お決まりの解法のパターンです。

こうすることによって、(3)や(4)を x でまとめたりして、
わかりやすい単純な式に変形することができるのです。

{x<(a-1)/2・・・(3)’　かつ　x≧-1・・・(4)’｝
と、かなり単純にすることができました。

また、|x|≦2・・・(1)　は、-2≦x≦2・・・(1)’　です。

ここで、(1)’に(4)’の条件を加えると、-1≦x≦2・・・(5)’となります。
これに(3)’の条件を加えたときに、
xの範囲に整数が３個含まれるよう、aの値の範囲を決めればよいのです。

(5)’の範囲の整数は、-1, 0, 1, 2 であることが分かります。
なので、(3)’の条件で絞られる整数３個は、-1, 0, 1 になるはずです。
(3)’の条件で「２」が削られて、「１」までは削られないようにします。
そうなるためには、(3)’の (a-1)/2　はどんな条件を満たせばよいでしょうか？
不等式で表して、それを aで解けば答えが出ます。

{x<b・・・(3)’’かつ　-1≦x≦2・・・(5)’}　と単純化して考えてみてください。
b=1だったら？　b=2だったら？　その中間だったら？　というようにです。

　　　　　　　　　 　　　x<b←――┐
── －１━━０━━━１━━○━２──→ x

補足

bがどうなればいいということでしょう。
そこまでは理解できました。
是非回答下さい；；

回答No.1

tenti1990

ｘは整数ですよね？
3x-a<x-1とx-1≦2xをそれぞれ別々に計算して
|x|≦2と合わせて数直線上に書けばよいです。
それでいけるはずです。
わからなかったらきいてください