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全微分と接平面について
二つ質問があります 全微分をdz=Zxdx+Zydy、接平面をZ-c=Zx(x,y)(x-a)+Zy(x,y)(y-b)と習ったのですが 微分は傾きを求められるということで、全微分は接平面の傾きを求められるということですよね？ というのが一つで、またもう一つは 上のことが正しい場合、dx,dyは接平面の公式では見当たりません。どうなったのでしょうか というのが二つ目です。 伝わりにくい文章になってしまいましたが、よろしくお願いします
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まず、一変数y＝f(x)で考えます。 dy/dx＝df/dx (1) ですよね？。微分の考えは、(1)の左辺のdxを、右辺へ移項するところから始まります。 dy＝df/dx・dx (2) という訳です。(2)の意味は何でしょうか？。 関数fの独立変数xの微小な変化dxに対して、関数fの値はdy変化するが、その変化dyは、xというその場所の傾き、 df(x)/dx と、xの変化量dxの積、dy＝df/dx・dxになるよ、と言ってるだけです。 ・つまり微分の意味とは、独立変数の微小な変化に対して関数fは、一次関数になると考えてかまわない、と言ってるだけです． では、その局所的一次関数を延長してみましょう。 (2)が成り立つ点をaとして、x－a＝dxを無制限に延長します。その際(2)のdyに対して、ある任意の関数g(x)を導入し、dy＝g(x)－f(a)と書く事が出来ます。 しかしg(x)は、(2)の意味を、無制限に延長したものだとすると、 g(x)－ｆ（a）＝df(a)/dx・(x－a) (3) でなければならない事になります。(3)が定義する関数とは、点x＝aにおける関数f(x)の「接線の方程式g(x)」です。 多変数においても同じです。接平面は、 Z-c=Zx(x,y)(x-a)+Zy(x,y)(y-b) (4) と習ったならば、逆に、 dＺ=Zx・dx+Zy・dy (5) を想定できるはずです。これが全微分です。 要するに、微分や全微分の形を知っていれば、接線や接平面の方程式は、dzやdxやdyを、無制限に延長すれば出る、という話です。 これの意味は、自分で納得して下さい。
- eclipse2maven
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全微分 というのは Z:R^2 --> R という関数の R^2 の各点ｘの接空間T_x（この場合はR^2)に対し、 RのZ(x)における接空間 T_Z(x) （これはR） への線形写像です。 後者では R~2の中にZ=0 という曲線の接空間を埋め込んで、表示しています。 多様体論とか勉強されると、よくわかるのですが。 接空間、微分 余接空間 微分形式 超平面ないしは部分多様体 とかですが。 ちなみに dx, dy は R^2の余接空間の元です。
