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全微分と接平面について

二つ質問があります 全微分をdz=Zxdx+Zydy、接平面をZ-c=Zx(x,y)(x-a)+Zy(x,y)(y-b)と習ったのですが 微分は傾きを求められるということで、全微分は接平面の傾きを求められるということですよね? というのが一つで、またもう一つは 上のことが正しい場合、dx,dyは接平面の公式では見当たりません。どうなったのでしょうか というのが二つ目です。 伝わりにくい文章になってしまいましたが、よろしくお願いします

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  • 回答No.3
noname#221368
noname#221368

 まず、一変数y=f(x)で考えます。   dy/dx=df/dx   (1) ですよね?。微分の考えは、(1)の左辺のdxを、右辺へ移項するところから始まります。   dy=df/dx・dx    (2) という訳です。(2)の意味は何でしょうか?。  関数fの独立変数xの微小な変化dxに対して、関数fの値はdy変化するが、その変化dyは、xというその場所の傾き、   df(x)/dx と、xの変化量dxの積、dy=df/dx・dxになるよ、と言ってるだけです。   ・つまり微分の意味とは、独立変数の微小な変化に対して関数fは、一次関数になると考えてかまわない、と言ってるだけです.  では、その局所的一次関数を延長してみましょう。  (2)が成り立つ点をaとして、x-a=dxを無制限に延長します。その際(2)のdyに対して、ある任意の関数g(x)を導入し、dy=g(x)-f(a)と書く事が出来ます。  しかしg(x)は、(2)の意味を、無制限に延長したものだとすると、   g(x)-f(a)=df(a)/dx・(x-a)    (3) でなければならない事になります。(3)が定義する関数とは、点x=aにおける関数f(x)の「接線の方程式g(x)」です。  多変数においても同じです。接平面は、   Z-c=Zx(x,y)(x-a)+Zy(x,y)(y-b)   (4) と習ったならば、逆に、   dZ=Zx・dx+Zy・dy          (5) を想定できるはずです。これが全微分です。  要するに、微分や全微分の形を知っていれば、接線や接平面の方程式は、dzやdxやdyを、無制限に延長すれば出る、という話です。  これの意味は、自分で納得して下さい。

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  • 回答No.2

全微分 というのは Z:R^2 --> R という関数の R^2 の各点xの接空間T_x(この場合はR^2)に対し、 RのZ(x)における接空間 T_Z(x) (これはR) への線形写像です。 後者では R~2の中にZ=0 という曲線の接空間を埋め込んで、表示しています。 多様体論とか勉強されると、よくわかるのですが。 接空間、微分 余接空間 微分形式 超平面ないしは部分多様体 とかですが。 ちなみに dx, dy は R^2の余接空間の元です。

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  • 回答No.1
  • hugen
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