全微分と接平面について

質問

二つ質問があります
全微分をdz=Zxdx+Zydy、接平面をZ-c=Zx(x,y)(x-a)+Zy(x,y)(y-b)と習ったのですが
微分は傾きを求められるということで、全微分は接平面の傾きを求められるということですよね？
というのが一つで、またもう一つは
上のことが正しい場合、dx,dyは接平面の公式では見当たりません。どうなったのでしょうか
というのが二つ目です。

伝わりにくい文章になってしまいましたが、よろしくお願いします

回答No.3

noname#221368

まず、一変数y＝f(x)で考えます。

　　dy/dx＝df/dx　　　(1)

ですよね？。微分の考えは、(1)の左辺のdxを、右辺へ移項するところから始まります。

　　dy＝df/dx・dx　　　　(2)

という訳です。(2)の意味は何でしょうか？。

　関数fの独立変数xの微小な変化dxに対して、関数fの値はdy変化するが、その変化dyは、xというその場所の傾き、

　　df(x)/dx

と、xの変化量dxの積、dy＝df/dx・dxになるよ、と言ってるだけです。

　　・つまり微分の意味とは、独立変数の微小な変化に対して関数fは、一次関数になると考えてかまわない、と言ってるだけです．

　では、その局所的一次関数を延長してみましょう。

　(2)が成り立つ点をaとして、x－a＝dxを無制限に延長します。その際(2)のdyに対して、ある任意の関数g(x)を導入し、dy＝g(x)－f(a)と書く事が出来ます。

　しかしg(x)は、(2)の意味を、無制限に延長したものだとすると、

　　g(x)－ｆ（a）＝df(a)/dx・(x－a)　　　　(3)

でなければならない事になります。(3)が定義する関数とは、点x＝aにおける関数f(x)の「接線の方程式g(x)」です。

　多変数においても同じです。接平面は、

　　Z-c=Zx(x,y)(x-a)+Zy(x,y)(y-b)　　　(4)

と習ったならば、逆に、

　　dＺ=Zx・dx+Zy・dy　　　　　　　　　　(5)

を想定できるはずです。これが全微分です。

　要するに、微分や全微分の形を知っていれば、接線や接平面の方程式は、dzやdxやdyを、無制限に延長すれば出る、という話です。

　これの意味は、自分で納得して下さい。

回答No.2

eclipse2maven

全微分　というのは　Z:R^2 --> R という関数の　R^2　の各点ｘの接空間T_x（この場合はR^2)に対し、
RのZ(x)における接空間　T_Z(x)　（これはR）　への線形写像です。

後者では　R~2の中にZ=0 という曲線の接空間を埋め込んで、表示しています。

多様体論とか勉強されると、よくわかるのですが。　接空間、微分　余接空間　微分形式　超平面ないしは部分多様体　とかですが。

ちなみに　dx, dy は　R^2の余接空間の元です。

回答No.1

hugen

http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC2%E7%AB%A0/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7_%E5%85%A8%E5%BE%AE%E5%88%86