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正則な一次変換の性質の証明を教えてください

・線分の分点は線分の分点にうつされ、その比は変わらない。 ・平行な直線は平行な直線にうつる。 ・△ABCの内部の点は△A’B’C’の内部にうつされこの変換を表す行列を2×2行列(a b c d)とする と  △A'B'C'=│ad-bc│△ABC  である。 の証明を教えてくださいお願いします。

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  • 151A48
  • ベストアンサー率48% (144/295)
回答No.2

     a b 行列 c d による1次変換を f で表すことにして,1次変換の線形性 f(p+q)=f(p)+f(q) . f(kp)=kf(p) ( ;p,qはベクトル,kは実数です。)は既知とします。 線分ABをk:1-kに内分する点をPとし,A,B,Pの象をA’,B’,P’とします。 OP=(1-t)OA+tOB  (;OP等はベクトルです。) OP’=f(OP)=(1-t)f(OA)+tf(OB)=(1-t)OA’+tOB’ この式の意味を考えて下さい。    方向ベクトルをpとして平行な2直線を x=a+kp, y=b+kp (kは実数,他はベクトル)とします。 f(x)=f(a)+kf(p), f(y)=f(b)+kf(p) 方向ベクトルf(p)の平行な2直線です。 Pが△ABCの内部にある条件は OP=pOA+qOB+rOC  (p+q+r=1,p>0, q>0, r>0)・・・*  ∴OP'=f(OP)=pf(OA)+qf(OB)+rf(OC)=pOA’+qOB’+rOC’ (p,q,rの条件は変わらず)より。 この段p,q,rは実数,他はベクトル。 計算簡略化のため,平行移動しても三角形の面積は変わらないので,Cを原点にもってきます。C’も原点に来ます。 CA=(x1,y1),CB=(x2,y2),C’A’=(x '1,y '1),C’B’=(x '2,y '2)とする。 △ABC=(1/2)|x1y2-x2y1|・・・** なので x '1=ax1+by1,y '1=cx1+dy1,x '2=ax2+by2,y '2=cx2+dy2に注意して △A’B’C’=(1/2)|(ax1+by1)(cx2+dy2)-(ax2+by2)(cx1+dy1)|  =(1/2)|(ad-bc)(x1y2-x2y1)| より。 細かい計算は自分で確かめてください。*,**は既知とします。文字の表す意味が実数だったり,ベクトルだったりで,混乱しますが善意に解釈して下さい。   

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質問者

お礼

有難うございます。がんばります。

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noname#152422
noname#152422
回答No.1

どの問題も何も考えず愚直に計算して確認すればいいです。

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