恒等式の数値代入法

質問

『
例題
次の等式がxについての恒等式であるとき,定数a,b,cの値を求めよ。
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21

この等式が恒等式ならば,x=-1,0,3を代入しても成り立つ。
　　x=-1を代入すると4b=20
　　x=0を代入すると3c=21
　　x=3を代入すると12a=96
したがってb=5,c=7,a=8
この時(左辺)=8x(x+1)+5x(x-3)-7(x-3)(x+1)
　　　　　　　=8x(x^2+x)+5(x^2-3x)-7(x^2-2x-3)
　　　　　　　=6x^2+7x+21
ゆえに与式は恒等式である
よってa=8,b=5,c=7
』

参考書にこう書いてありました。

どういう解釈をすればいいのかわかりません。
「x=-1,0,3を代入しても成り立つ」というところの「,」記号はどういう意味ですか？

「x=-1が成り立つ、かつ、x=0が成り立つ、かつ、x=3が成り立つ」という意味ですか？
だとしたら、「-1=0=3となって矛盾する。よって与式は恒等式ではない」ってことにはならないんですか？

「x=-1が成り立つ、または、x=0が成り立つ、または、x=3が成り立つ」だとしても、
8x(x+1)+5x(x-3)-7(x-3)(x+1)という式は作れないような…。
8x(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)またはax(x+1)+5x(x-3)-c(x-3)(x+1)またはax(x+1)+bx(x-3)-7(x-3)(x+1)が成り立つ。
ってことになるような気がするのですが…。

回答No.1

morusoa · ベストアンサー

x=-1,0,3の「,」はただの区切り文字です。
ｘ＝－１、ｘ＝0、ｘ＝3と書くと長くなるので省略した表記です。

＞「x=-1が成り立つ、かつ、x=0が成り立つ、かつ、x=3が成り立つ」という意味ですか？

正しくは、「x=-1のとき、等式が成り立つ、かつ、x=0のとき等式が成り立つ、かつ、x=3のとき等式が成り立つ」です。

◎「代入」という点に注意してください。◎

「x=-1,0,3を代入しても成り立つ」　というのは、
ｘ＝－１を代入しても、ｘ＝0を代入しても、ｘ＝3を代入しても「等式は成り立つ」、という意味であって、「ｘの値が等しい」ということについて言っているのではありません。

今回、ｘに－1を代入しても０を代入しても、３を代入しても等式が成立しないといけませんから「または」ではなく、「かつ」です。
つまり、b=5かつ、c=7かつ、a=8　で、8x(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)となります。

始めのx=-1,0,3という表記の誤解から考えミスをしてしまったようですね。
x=-1,0,3のような表記は非常によく出てきますし、簡単に書けるので答案作成などにも利用して慣れるようにしてください。

お礼

なるほど！
代入しても成り立つってことを、連立できるってことと勘違いしてしまっていました…。。
とてもわかりやすく教えていただき、ありがとうございます！

回答No.2

edomin7777

＃１さんの
> 始めのx=-1,0,3という表記の誤解から考えミスをしてしまったようですね。

はちょっと違うんじゃない？

基本的に「恒等式」がなんなのか理解できていないからそういう発想が出るんだと思う。

「恒等式」が理解できていたら、

> 「x=-1が成り立つ、かつ、x=0が成り立つ、かつ、x=3が成り立つ」という意味ですか？
> 「-1=0=3となって矛盾する。よって与式は恒等式ではない」

なんていう文章は出てこない。