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恒等式における数値代入法について

  • 質問No.4668524
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高校数学IIの教科書には、
「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
等式f(x)=g(x)がn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、
この等式はxについての恒等式であることが知られている」
と書いてあります。
これについての証明は教科書に書いてありませんが、事実として
は教科書に明記されているのでこのことを使っても構いません。
つまり、「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
数値代入法で、n+1個のxの値を代入して答えが出たときは
十分性の確認は不要」であり、
「f(x)、g(x)がxのn次の多項式であるとき、
数値代入法で、n個以下のxの値を代入して答えが出たときは
十分性の確認は必要」と言うことです。

では、f(x,y,z…)、g(x,y,z…)がx、y、z…のn次以下の多項式である
とき、等式f(x,y,z…)=g(x,y,z…)が一体何個の異なるx、y、z…の値
に対して成り立つならば、この等式はx、y、z…についての恒等式
であることが知られているのでしょうか?

たとえば、「2x^2+axy-3y^2+x+4y-1=(2x+y+b)(x-3y+c)
がx,yの恒等式になるように,定数a,b,cの値を定めよ.」
という問題の場合、数値代入法で解くと、

2x^2+axy-3y^2+x+4y-1=(2x+y+b)(x-3y+c)………(1)とする.
 (1)にx=0,y=0を代入すると,-1=bc………(2)
 (1)にx=0,y=1を代入すると,0=(1+b)(-3+c)………(3)
 (1)にx=1,y=1を代入すると,a+3=(3+b)(-2+c)………(4)
 (3)から,b=-1またはc=3

i).b=-1のとき,(2)から,c=1
  (4)に代入すると,a+3=-2   ∴a=-5
  このとき,(1)は
   2x^2+5xy-3y^2+x+4y-1=(2x+y-1)(x-3y+1) となり,
常に成立する.

ii).c=3のとき,(2)から,b=-1/3
  (4)に代入すると,a+3=3-(1/3)   ∴a=-1/3
  このとき,(1)は
   2x^2-xy/3-3y^2+x+4y-1=(2x+y-1/3)(x-3y+3)
  =2x^2-5xy-3y^2+17x/3+4y-1
 となり,これはx,yの恒等式ではない.

i).,ii).から,答はa=-5,b=-1,c=1である.

となります。この場合、f(x,y)、g(x,y)はx、yの「2」次の多項式
ですが、「2+1」個のx,yを代入しても十分性の確認は
必要でした。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 44% (41/92)

定理として知っているわけではないので確たる自信はないですが…

(x,y)の場合は、多分6つじゃないでしょうか。というのは、展開した時に
x^2, y^2, xy, x, y, 1
の6つの項ができるので、それぞれに対応する6つの係数を定めるために一般的には6つの等式が一般には必要になると思います。

この考え方で行くと、k変数n次の場合は、k^n+k^(n-1)+…+k^0個が必要になりますね。というのは、n次の項はk^n通り作れるのからです。ちなみに、k=1を代入するとn+1になります。
お礼コメント
noname#113212
>>(x,y)の場合は、多分6つじゃないでしょうか。というのは、
>>展開した時にx^2, y^2, xy, x, y, 1
>>の6つの項ができるので、それぞれに対応する6つの係数を定める
>>ために一般的には6つの等式が一般には必要になると思います。
なるほど、と思いました。
原理が理解できただけでも満足です。
ありがとうございました。
投稿日時:2009/01/28 18:41

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 44% (41/92)

先ほどの計算は間違いです。忘れてください。
  • 回答No.2

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

k変数 n次多項式で必要な組み合わせは, たぶん (k+n)!/(k!n!) = (k+n)Ck です.
方針は #1 の通りで「k変数で高々 n次の単項式を数える」ことに帰着されるのですが, これは「(k+1)変数の n次単項式を数える」ことと等価です. そして, この数は結局重複組み合わせ (n+1)Hk = (k+n)Ck であらわされます.
最初はもっと複雑奇怪な方から攻めたんだけど, 結論からみればこれだけ.
お礼コメント
noname#113212
またまたTacosanさんですか!?
いつもいつもありがとうございます。
なるほど、結構単純な数え方なんですね。
原理が理解できただけでも満足です。
ありがとうございました。
投稿日時:2009/01/28 18:39
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