数学の矛盾

質問

次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21

この問題を代入法で解くとする。その場合、逆の確認もしくは（次数＋１）個
の値を代入しなければならないらしい。
私の先生は、３個代入したにもかかわらず、逆の確認が必要と言っていた。
なぜなら、他のｘの値でそれらが導けるか不明確だかららしい。
だが、ｘ＋１個の値を代入すれば問題ないなら、この場合だって他のｘの値でそれらが導けるのが不明確なのはないか？？・・・・(1)
そして、先生は次の定理を利用しているから、次数＋１個で確認不要と言っていた。
定理、一般にＰ、Ｑがｘについてｎ次以下の多項式であるとき、等式Ｐ＝Ｑがｎ＋１個の異なるｘの値に対して成り立つならば、この等式はｘについて恒等式である。
こいつを利用したから確認不要の意味がわからない。
今回は、恒等式であるときと書いてあるんだから、こんな定理は意味がないように思える。
どういう点で利用しているのか教えてほしい。・・・(2)

(1)、(2)を教えてほしいです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
>ｘについての恒等式であるとき
と書いてないなら
定理を適用するための必要十分条件が満たされていることを確認しないといけない。つまりxの2次式恒等式であるためは、「次数＋１」個の異なるxについて等式が成立する事を示さないといけないということででしょう。
「私の先生は、３個代入したにもかかわらず、逆の確認が必要と言っていた。」等式と、それに異なるxを代入してできたa,b,cの３つの連立方程式の合計4つの方程式が存在します。3つの方程式とそれを解いて出したa=○,b=△,c=□は等価です。
元の等式はa,b,cを代入してできただけの式が恒等式か否かは別問題なので、できた等式の「次数+1個」の値を改めて代入して成り立つか確認してから、定理により恒等式となっていることが証明されるということでしょう。
等式がある。その式が恒等式であるかは確認されていない。とにかく未知定数が3個あるので異なるxを3個与えて、3つの連立方程式をつくり未知定数を決定しよう。決定した未知定数を元の等式に代入してみる。未知数がなくなった等式が、恒等式になっているか、確認しよう。それには定理で言う「次数＋1」個の異なるxを代入してやって成立することを示せば、定理が恒等式であることを保証しているので、恒等式といえる。
と考えればいいですね。

(2)
>ｘについての恒等式であるとき
問題が恒等式であることを保証している場合は確認不要。
恒等式だから、未知定数の個数分の異なるｘを与えて、未知定数を求めて恒等式の等式に代入しておけば十分。
恒等式であることは問題が保証しているので、特に確認は不要ですね。

問題文をよ～く確認して、恒等式であることを示さないといけないか、不要なのか、を把握してから解答しないと、失敗する（減点される）かも知れないので注意したいですね。

回答No.3

alice_44

＞ 一般にＰ、Ｑがｘについてｎ次以下の多項式であるとき、
＞ 等式Ｐ＝Ｑがｎ＋１個の異なるｘの値に対して成り立つならば、
＞ この等式はｘについて恒等式である。

…は、正しい定理です。
求めた a,b,c を代入して両辺を比較する代わりに、
この定理を使って十分性を確認することもできます。

ただし、定理の内容を正確に記述して、
この定理を使ったということを答案に明記しなければなりません。
定理の証明まで添えなければ、ちゃんと理解して使ったと
認めてもらえない可能性もあります。

それを考えると、代入して確認してしまうほうが遥かに簡単です。

その定理の略証としては…
Ｐ－Ｑはｎ次以下の多項式であるから、項等０でなければ、
代数学の基本定理により、複素係数の範囲でｎ個以下の一次式の
積に分解される。
１個の一次式を０にするｘの値は１個だけであり、
０でない複素数の積は０でないから、
ｎ個以下の一次式の積を０にするｘの値はｎ個以下しかない。
よって、Ｐ－Ｑがｎ＋１個以上のｘに対して０になれば、
Ｐ－Ｑは項等０、すなわち、Ｐ＝Ｑは恒等式である。

これが解らなければ、その定理を使うのは、
やめておいたほうが無難です。

回答No.1

Oxia

「次の等式がｘについての恒等式であるとき・・・」
というのは、もちろん
「次の等式に任意のｘを代入しても成り立つ」
ということです。
さて、代入法というのは、「任意のｘ」について成り立つのなら、「特定のｘ」についても当然成り立つということを利用します。

特定のｘ
（たとえば、今回の問題の場合は、x = -1，0，3を代入したとします）
を代入してa，b，cの値を求めたとき、
（a=A，b=B，c=C と求まったとします）
この段階において数学的には
「a=A，b=B，c=C とすると、与式はx = -1，0，3のときに成り立つ」
ということしか言えていません。
または、
「与式が任意のxについて恒等式であるためには、少なくともa=A，b=B，c=Cであることが必要」
ということです。
なぜなら、a，b，cの値を求めるときに、任意のxを代入したわけではなく、あくまで特定のxしか代入していないからです。つまり、あくまで、まだ今の段階では本当に恒等式になるのかどうかは分からないということです。
（問題文を無条件に信用してはなりません。もしかしたら、「どのようなa，b，cであっても恒等式にならない」なんて状況、可能性はゼロではありませんので）
なので、あとは、「a=A，b=B，c=C ⇒ 与式が任意のxについて恒等式である」ということを言う必要があるのです。
そのために、a=A，b=B，c=Cを与式に代入して逆の確認をするか、それとも「定理」を使うかです。