数学（不等式） 解説よろしくお願いします。

質問

次の不等式が 0≦x≦1 で常に成り立つようなp, qの値の範囲を求めなさい。

1+px≦(x^3+x^2+3x+1)/(x+1)≦1+qx

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

f(x)=(x^3+x^2+3x+1)/(x+1),g(x)=(1+px),h(x)=1-qx (0≦x≦1)
とおくとき
f(x)-g(x)≧0が常に成り立つようなpの範囲を求める。
y=f(x)のフラフを増減表を描いてy=f(x)のグラフの概形を掴みます。
f(0)=1,g(0)=1なのでy=g(x),y=f(x)ともy軸上の点(0,1)を通る。
添付図の青線はy=f(x)-g(x)のグラフで
y=f(x)のグラフにy=g(x)の直線が接する時のpを求めるとp=2√2-1で
この時の接点のx座標xoは xo=√2-1となります。
このx=xoでy=f(x)-g(x)のグラフは原点(0,0)を通り、x=xoでx軸に接する。pを p≦2√2-1…(★) に選べばf(x)≧g(x)が成り立つ。つまり、y=f(x)-g(x)のグラフでは、(0≦x≦1)で y=f(x)-g(x)≧0が常に成り立つ。

次にy=f(x)とy=h(x) (0≦x≦1)のグラフを考える。
f(0)=1,h(0)=1なので両方のグラフは軸上の点(0,1)を通る。
2つのグラフの差が判別しにくいので添付図のy=h(x)-f(x)のグラフ（水色のグラフ）を使う。y=h(x)がh(1)=f(1)となる時のqを求めるとq=2を得る。y=h(x)のグラフが常にy=f(x)の上側になるにはq≧2とすれば良い。y=h(x)とy=f(x)のグラフでは判別が困難なので、添付図の水色のy=h(x)-f(x) (0≦x≦1)で考えるとわかり易いでしょう。 q≧2…(☆)で直線y=h(x)の傾きが急になりy=h(x)-f(x)≧0 (0≦x≦1)が常に成り立ちます。つまりf(x)≦h(x)(0≦x≦1)が成り立つ。

求めるp,qの範囲は(★),(☆)となります。

お礼

こんなに詳しい解説をしていただき、誠に有難うございます。
ここまで丁寧な回答者様に巡り合ったことはほとんどありません。

回答No.2

mister_moonlight

(x^3+x^2+3x+1)/(x+1)-1＝(x^3+x^2+2x)/(x+1)であるから、x＝0の時は常に成立。
そこで、x(＞0)で両辺を割ると　0＜x≦1の条件で　p≦(x^2+x+2)/(x+1)≦qが常に成立する条件を求める事になる。
(x^2+x+2)/(x+1)＝(x+1)＋(2)/(x+1) の最大値と最小値を　0＜x≦1の条件で求める。微分が必要。
従って、p≦最小値、最大値≦q　が求めるもの。
計算は、自分でやって。

お礼

ありがとうございます。
自分で計算を試み、どうしても分からなかったとき
或いは答え合わせの時にもう一人の方の解説を拝見しようと思います。

回答No.1

m0r1_2006

グラフ書いたらすぐわかる．