不等式

質問

不等式 p(x+2)+q(x-1)>0を満たすxのハにがx<1/2であるとき,不等式q(x+2)+p(x-1)<0を満たすxの範囲を求めよ。ただし,pとqは実数の定数とする。

という問題の回答で、

p(x+2)+1(x-1)>0から　(p+q)x>-2p+q
この不等式を満たすxの範囲がx<1/2であるから
p+q<0...(1)　かつ　(-2p+q)/(p+q)=1/2...(2)…

とあるのですが、この、(1)(2)になる理由がよくわかりません。お助けください。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

ちょっと誤字脱字多すぎですよ。さて、

(p+q)x>-2p+q

が

x<1/2

である時にxの係数が正なら、例えば4x>2ならx>1/2になりますね。
ところが、範囲はx<1/2とあるのですからxの係数が負で不等号の向きが
逆転しないと辻褄が合いません。その意味でxの係数(p+q)<0が
大前提なのです。次に
x<(-2p+q)/(p+q) 　と変形した時にx<1/2と同値でなければなりませんから
(-2p+q)/(p+q)=1/2
と書いてあるのです。

お礼

解答していただきありがとうございました。

そうですね、今気づきましたけど、確かに誤字脱字だらけです。（笑）

回答No.2

take_5

条件から、（p＋q）x＞q-2p、2x＜1　が同じ不等式になるはずだが、不等号の向きが異なる。
そこで、不等号の向きを同じにしてやると、-（p＋q）x＜2p-q　‥‥(1)、2x＜1　‥‥(2)となる。
(1)と(2)が同じ解の不等式であるためには、(2)のxの係数が正であるから、(2)の不等式の係数も同じになる。
従って、-（p＋q）＞0　つまり　p＋q＜0.‥‥(3)
そして、(1)と(2)の解が同じになるから、係数は比例しなければならないから、-（p＋q）/2＝（2p-q）/1となる。
つまり、q＝5pとなるが、(3)よりp＜0　‥‥(4)

＞係数は比例しなければならないから、

2x＜1の解と4x＜2の解は同じだろう。

q(x+2)+p(x-1)＜0にq＝5pを代入して整理すると、p（2x+3）＜0となるが、(4)から　2x+3＞0.