数学IAの不等式の問題を教えてください。

質問

数学IAの不等式の問題を教えてください。

不等式2x^2-(2a+3)x+3a<0 (a<=0)に含まれる整数が、
ちょうど3個となるような実数の定数aの値の範囲を求めよ

解説：　(2a-3)(x-a)<0
a<=より、 a<x<2/3
よって、-2<=a<-1

この解説を見ても理解できませんでした。
どのように考えてどのように解けばよいのかもわかりません・・・
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

toraneko75 · ベストアンサー

不等式は（2x-3)（x-a)<0ですね。
二次関数をf(x)とするとf(x)<0となるのはf(x)=0の小さい解と大きな解に挟まれた領域です。
今回（2x-3)（x-a)=0の解はx=3/2及びx=aですが、a≦0が分かってますから、
不等式の解はa<x<3/2です。そうすると3つの整数解となるのは3/2より小さい整数3つなんで
1,0,-1です。そうなるためにはaは-1より小さく-2以上にないといけないです。
したがって-2≦a＜-1です。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
理解できました！
ですが、因数分解の解き方がわかりませんでした・・・

回答No.4

spring135

2x^2-(2a+3)x+3aを因数分解して
2x^2-(2a+3)x+3a=(2x-3)(x-a)
y=(2x-3)(x-a)のグラフをa<=0の条件の下に描いてみる。
x軸との交点はx=3/2,a
a<=0より
x=0,1は不等式2x^2-(2a+3)x+3a<0に含まれる
x>=0ではx=0,1以外に解はない。
よって残りはx=-1だけが含まれれば良い。
よって
-2<=a<-1

x=a=-2のときy=0、y<0には含まれないのでa=-2はOK
であることを確認のこと。

お礼

グラフを条件のもとに描くとわかりやすいですね！
今度は自力で解けるかやってみます。
アドバイスありがとうございました。

回答No.3

mamoru1220

#2です。

誤
(2a-3)(x-a)<0

正
(2x-3)(x-a)<0

失礼いたしました。

回答No.2

mamoru1220

＞a<=より、 a<x<2/3
a<=0より、 a<x<3/2 の間違いでしょうか？

2x^2-(2a+3)x+3a<0 (a<=0)
2x^2-2ax-3x+3a<0
(2a-3)(x-a)<0
a<=0より
a<x<3/2

ここまではわかりますでしょうか。展開して因数分解しただけなのですが。
3/2=1.5です。
よって
a<x<1.5
ここに含まれる整数が3個になればよいのだから、1,0,-1です。
よってaの範囲は、-2<=a<-1であることがわかります。

お礼

解説してくださった因数分解ですが、皆さん当たり前のように解いておられますが、
この因数分解のやり方が分かりません・・・、因数分解後の式を展開してみてやっと
納得しました。
こんな難しい因数分解を解くときに何かコツなどあるのですか？

それから、その後の説明は理解できました！
ありがとうございました。