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不等式の証明
数学を勉強しているのですが、聞く人がいなくて困っています。 よろしくお願いします。 (1) p>0,q>0,p+q=1のとき、関数 f(x)=x^2 について不等式 f(px1+qx2)≦pf(x1)+af(x2) が成り立つことを示せ。 ※px1,qx2,x1,x2の1,2は下付きの小文字です。どの様に表記したらよいのかわかりません。すいません。 (2) a>0,b>0,a+b=1 のとき、(1)を用いて不等式 (a+1/a)^2+(b+1/b)^2≧25/2が成り立つことを示せ。 (1)は解けるのですが、(2)がわかりません。 よろしくお願いします。
- mido1993
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1+1/abの値の範囲の求め方は次のようにしても良い。 ab=kとすると、aとbは2次方程式:t^2-t+k=0‥‥(1)の2つの正の実数解から判別式≧0、2解の積=k>0,2解の和=1>0より 0<k≦1/4. つまり、1/k≧4であるから、1+1/k≧5. 即ち、{1+1/ab}^2≧25. 等号成立はk=1/4であるから、(1)よりa=b=1/2の時。
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- take_5
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(1)より p=q=1/2とすると、2*f(x1/2+x2/2)≦f(x1)+f(x2)が成立する。 f(x)=x^2であるから、右辺=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2 。 左辺=2*f(x1/2+x2/2)=(1/2)*{a+1/a+b+1/b}^2=(1/2)*{1+1/a+1/b}^2=1/2)*{1+1/ab}^2であるから、1+1/abの値の範囲を定めると良い。 a>0,b>0,a+b=1から相加平均・相乗平均より a+b≧2√(ab)であるから、両辺を2乗してab≦1/4.つまり、1/ab≧4であるから、1+1/ab≧5. 即ち、{1+1/ab}^2≧25/2. 等号成立はa=b=1/2の時。 以上から、(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≧25/2。 これは、凸関数に関わる有名な性質です。 凸関数を知りたければ、“凸関数”で検索したら良い。
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回答ありがとうございます。