不等式がわかりません

質問

全ての実数xに対して、x^4-4p^3x+12x>0 となるための実数pの
条件を求めよ。

という問題で、解答は

f(x)=x^4-4p^3x+12x　とおくと
f´(x)=4x^3-4p^3=4(x-p)(x^2+px+p^2)
x^2+px+px^2=(x+1/2p)^2+3/4p^2≧0
　　　　　　　　↑これは1/2×pです。2p分の1ではありません。

pで極小値を取るから
f(p)=p^4-4p^4+12=-3(p^4-4)
-3(p^4-4)>0　より
(p^2+2)(p+√2)(p-√2)<0
ゆえに
-√2<p<√2

↓の部分がわかりませんでした。
x^2+px+px^2=(x+1/2p)^2+3/4p^2≧0
この式は何のために示すのですか？

それと、何故pで極小値をとるとわかるのでしょうか。
f(x)=x^4-4p^3x+12x　とおくと
f´(x)=4x^3-4p^3=4(x-p)(x^2+px+p^2)
x^2+px+px^2=(x+1/2p)^2+3/4p^2≧0
この式を眺めても、「pで極小値を取る」という考えに至りません。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
解答については、＃１さんが丁寧に書かれているので、
考え方などについて書いておきます。

いまの問題は、グラフ（x軸との位置関係）を使って解くことになりますね。

そこで、xの多項式で表される関数の概形を考えてみると
（最高次数の係数は正であるとします）

１次関数＝ 直線（山も谷もなし）
２次関数＝ Ｕ字型（谷が 1個）
３次関数＝ Ｎ字型（山が 1個、谷も 1個）
４次関数＝ Ｗ字型（山が 1個、谷が 2個）
・・・
というように、山と谷が増えていきます。
「山」や「谷」とは、別の言い方をすれば「極大値」「極小値」となる点のことです。

いまの問題は、まず 4次関数が与えられているので
・「Ｗ字型」になっていて、
・「極小値」のどちらかが「関数の最小値」になるだろう。
・「関数の最小値」が 0よりも大きければ、関数全体も 0より大きいと言える。
ということが想像されます。

そこで、極小値を（与える xの値から）調べることになります。
すると、計算されているとおり、そして＃１さんが言われているとおり、
極小値が 1個しかないことが導かれます。

実は f(x)を計算すると、
f(x)= (x-p)^4+ 4p(x-p)^3+ 6p^2(x-p)^2- 3p^4+ 12

となり、x= pに対して線対称となることが式の上からもわかります。
そして、その最小値は定数項である -3p^4+ 12となります。
この計算と同じようなことを f' (x)の式から求めていることになります。
（ですので、実際にはこのような計算は不要です。
あくまでも、こうなりますよ。というだけのことですので、参考程度にしてください。）

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。

丁寧なご解説ありがとうございます。
よくわかりました。

no.1さんno.2さん本当にありがとうございました。

回答No.1

tra_tata

>> ↓の部分がわかりませんでした。
>> x^2+px+px^2=(x+1/2p)^2+3/4p^2≧0
>> この式は何のために示すのですか？

→　f'(x)=4x^3-4p^3=4(x-p)(x^2+px+p^2)
　　この、f'(x)の正負によって、関数f(x)が
　　単調増加するのか、単調減少するのか、極値を取るのかを判定します。

　　f'(x)は、4と(x-p)と(x^2+px+p^2)の積ですが、
　　4と(x^2+px+p^2)は常に正の値しか取らないので
　　f'(x)の符号に影響を与えるのは、(x-p)だけということを示すためです。

>> それと、何故pで極小値をとるとわかるのでしょうか。

→ 前の質問に関係してきます。
　 f'(x)は、x<pの区間では、f'(x)<0となるため、単調に減少します。
　 f'(x)は、x=pでは、f'(x)=0となるため、極値を取ります。
　 f'(x)は、x>pの区間では、f'(x)>0となるため、単調に増加します。

　上記を基にグラフの形を描けば、
　（つまり、x=pよりも左側では単調現象、x=pよりも右側では単調増加する）
　x=pで極小値を取ることが視覚的に理解できると思います。

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。

丁寧なご解説ありがとうございます。
よくわかりました。