不等式

質問

|(x－3)(x－1)|＝mxに当てはまるxの実数値が4個あるようにmの値の範囲を定めよ
という問題で
自分の考えでは
y＝|(x－3)(x－1)|というグラフとｙ＝mxという直線の交点が4点で交わっている場合でグラフを書くと1＜x＜3で交わっている場合で
この場合式は
－(x－3)(x－1)＝mxで　x^2－(4－m)x＋3＝0
が2つの実数解α、β持っていて1＜α＜β＜3となっている
事と解と係数の関係からα＋β＝4－mの条件から
mは－2＜m＜2なって
さらに判別式から　(4－m)＾2－12＞0
ここからm＜4－2√3
であることまでは分かっていて
グラフの形からｍ＞0であることもわかり答えは
0＜m＜4－2√3ではないかと思うのですが
テキストの解答を見ると
m＞0部分で(4－m)＾2－12＞0，（α－1)(β－1)＞0，
（α－3)(β－3)＞0，からm＞0という導き方をしているのですが，この部分の考え方が全く分かりません
どなたか教えて頂けないでしょうか

回答No.3

noname#7280 · ベストアンサー

まず、αとβ両方が１＜α、β＜３という条件を満たすことから、上記不等式が明らかです。その左辺をそれぞれ展開して、解と係数の関係を代入すれば、どちらの式もｍ＞０であることが示せます。そのことを確認するためのものです。
　おそらく、その模範解答には図が付いていないのではないでしょうか？解析を得意とする先生は直観力と厳密さを持ちます。それで上記のように厳密に確認をしたのではないでしょうか。もちろん、No.1さんのおっしゃるとおり、そのまま直感的に図を描けば明らかに直線の傾きは正ですから、それを答案に書けばいいと思います。

お礼

あー
と言った感じです
すっきりしました
ありがとうございました

回答No.4

ensof

N0.2です。
式を書き間違えてました。

x^2+(m+4)x+3=0・・・(1)
は誤りで、
x^2+(m－4)x＋3＝0

です。よって以下の解答で、誤った式のまま解と係数の関係をつかうと解がなくなってしまうので、計算して訂正しておいてください。

すみませんでした・・・。

回答No.2

ensof

テキストの解答では、解と係数の関係を（わざわざ）利用して解いているわけです。

焦点となっているのは、
「x^2+(m+4)x+3=0・・・(1)が1<x＜3の範囲に２つの異なる実数解を持つ条件」
ですね？これをテキストの方法で解いてみます。

まず、(1)が２解をもつ⇔判別式＞0より、
＞＞＞ｍ＜4－2√3・・・(2)
この条件のもとで、２解をα、βとする。
「これらが1＜ｘ＜3の範囲にある」とはつまり

“1＜αかつ1＜β・・・(3)”かつ“α＜3かつβ＜3・・・(4)”

つまり、求める条件は、「(2)かつ(3)かつ(4)」

ここで、
(3)⇔(α－1)＞0かつ(β－1)＞0
⇔(α－1)+(β－1)＞0かつ(α－1)(β－1)＞0
⇔－(m+4)－2>0かつ3+(m+4)+1>0（☆解と係数の関係を用いた！！）
⇔－8<m<－6

同様に
(4)⇔・・・

とやっていってけば、条件が求まりますね？

あとは、本門でm>0とあわせれば、
0＜m＜4－2√3
が得られます（終）

お礼

なるほど少し時間をかけてやってみます
ありがとうございました

回答No.1

noname#24477

グラフよりｍ＞０から上側で接するときまで

というぐらいは使って良いと思います。

テキストの解答はα＞１，β＞１より
α－１＞０，β－１＞０
よって和と積が正
後は解と係数の関係
というところかな？
和と積の両方言わないといけないので面倒です。
（グラフで考える方法もあるが今は略、一番上に書いたのとは別）

お礼

グラフからもありということですね
ありがとうございます
"今は略"が多少気になりますがありがとうございました